Re: [微積] 解題技巧疑問

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《sweetycool (tina)》之銘言：
: 題目是這個
: Http://ppt.cc/-1HY
: 我看到有人這樣解,一般都是用留數定理解,但這解法還真第一次看到
: 感覺好快,不知道這是啥原理呢?有沒有甚麼限制,謝謝
:   ∞
: ∫   (1/x^3+1) = lim 1/(x^3+1) - lim 1/(x^3+1)
:  -∞             x→∞           x→-∞
: lim 1/(x^3+1) = (1/x^3)/(1+1/x^3) = 0/(1+0) = 0
: x→∞
: lim 1/(x^3+1) = (1/x^3)/(1+1/x^3) = 0/(1+0) = 0
: x→-∞
:   ∞
: ∫   (1/x^3+1) = lim 1/(x^3+1) - lim 1/(x^3+1) = 0    ........ANS
:  -∞             x→∞           x→-∞

   3                     2
  x  +  1  =  (x + 1) ( x  - x + 1 )


所以可以將被積函數分成

     1/3             -x/3 + 2/3
  ---------   +   ----------------
    x + 1            x^2 - x + 1

     (a)                 (b)



(a) 項積分為零：

       ∞                       ∞
 1/3 ∫   1/(x+1) dx   =  1/3 ∫   1/u  du       u = x + 1
      -∞                      -∞

                       =  0                      1/u 是奇函數




(b) 項還需要一點處理。


分母：

  2                      2
 x  - x + 1  =  (x - 1/2)  + 3/4

                 2
             =  v  + 3/4                         v = x - 1/2


分子：

 - x/3 + 2/3  =  - v/3 + 1/2



積分：


   ∞        v
 ∫     -------------  dv   =  0                 奇函數
  -∞     v^2 + 3/4


   ∞        1/2
 ∫     -------------  dv   =  pi/sqrt(3)        residue theorem
  -∞     v^2 + 3/4





...所以積出來根本不是零啊 (／‵Д′)／~ ╧╧


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   你喜歡下列哪一個巫女？
1. 老是被分到不同的班級，只好每天中午千里尋妻
2. 對新年參拜的人說求神保佑是沒意義的
3. 不只是半獸人，還會吐火
4. 不承認自己宅，卻知道DQ5一定要娶碧安卡
5. 明明體重不受控制，Pocky還是吃不停

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.110.184.241
→ BaBi        :(a)項就發散掉了不會是0吧?
→ wohtp       :(a) 項 u --> 0- 和 0+ 會互相抵銷
→ BaBi        :在這裡由於單邊就會發散, 不能利用奇函數對消吧?
→ BaBi        :∞+∞仍然是∞這可以理解, 但∞-∞未必是0呀...
→ wohtp       :當然你可以在趨近 0- 和 0+ 的速度上弄鬼，讓兩項不
→ wohtp       :能抵銷。
→ wohtp       :可是這等於給予 0- 和 0+ 周圍的點不同的權重
→ wohtp       :既然是同一個積分裡面出來的，沒道理不一樣吧？
→ wohtp       :所以最後的問題就是「可不可以假設 0- 和 0+ 兩個極
→ wohtp       :限是對稱的」這樣
→ wohtp       :如果題目一開始就是 (-∞, 0-) 和 (0+, ∞)兩項分開
→ wohtp       :我同意你說的，鬼才知道
→ wohtp       :可是一開始是從 (-∞, ∞) 拆開兩項的，我覺得這樣
→ wohtp       :應該假設兩邊對稱
→ wohtp       :（啊這是我自己的文章嘛，應該修文的）
→ jacky7987   :這樣做是柯西主值
→ Yogaga      :建議原PO去翻翻原文書，improper integral 的章節
→ Yogaga      :相信你可以找到"不假設逼近暇點的速度一樣"
→ Yogaga      :甚至你如果去查高微的書可發現，f若為可正可負的函數
→ nobrother   :樓上說的我有看到,但我的想法跟原PO一樣耶,錯在哪?
→ Yogaga      :積分f+存在且積分f-存在，f才是可積分函數
→ Yogaga      :也就是說這題必須分成負無窮積到-1跟-1積到無窮兩項
→ Yogaga      :要分別檢查兩項積分是否皆存在，其中有一不存在則本
→ Yogaga      :題積分發散
→ nobrother   :那分成兩項之後,不能看成(-1積到無窮)+(負無窮積到-1
→ BaBi        :int f(x) [-∞,∞] 和 lim k->∞ int f(x) [-k,k]
→ nobrother   :=(-1積到無窮)-(1積到無窮)嗎?
→ BaBi        :Orz 上面請看成()括弧> " <
→ Yogaga      :不能，必須分開看
→ BaBi        :比如 int x (-∞,∞)發散, 但他柯西主值是0...
→ Yogaga      :故根據定義本題函數在整個實數域裡面不是可積分函數
→ sneak       : ∞+∞仍然是∞這可以理 http://yofuk.com
→ muxiv       : 可是一開始是從 (-∞ http://yaxiv.com