[微積] 幾題積分

[nobrother (nono)]

(1).
         -1
  ∞ (tan  x)^2
  ∫------------ dx
  0     x^2


(2).

  π        1+bcosx
  ∫secxln(---------)dx
  0         1+acosx

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.253.14.34
推 BaBi        :(1) pi(ln2)?
→ nobrother   :對的,可以請問你怎麼算嗎?我覺得我的書的解法太神奇
推 itai        :是不是令u=1-tan^-1 x?
→ itai        :好像想錯了，sorry=.=
第一題,書上解法
令t=arctanx
=> ...
               1/2π  1/2π
=> =2tln(sint)|     -2∫lnsintdt
               0       0

    1/2π             1/2π     1/2π
再算∫lnsinxdx =(1/2){∫lnsinxdx+∫lncosxdx}
    0                 0          0

                     1/2π
               =(1/2)∫lnsinxcosxdx
                     0

                      1/2π     1/2π
               =(1/2){∫ln1/2dx+∫lnsin2xdx}
                      0         0

                                 1/2π
               =(π/4)ln1/2 + 1/2∫lnsinxdx
                                 0
※ 編輯: nobrother       來自: 111.253.14.34        (11/26 15:40)
→ BaBi        :我也是這樣算的, 不過後面 int ln(sinx) dx 項因為常
→ BaBi        :碰到, 答案已經記起來了, 所以...
→ nobrother   :喔  原來那個是要記下來的  謝謝
推 Yogaga      :(2)先改寫成二重積分1/(1+tcosx)，t從a積到b，交換
→ Yogaga      :積分次序，然後令u=tan(x/2)去變換，接著的積分就簡
→ Yogaga      :單了