Re: [微積] x加x次以後的微分

[yasfun (耶死放)]

分享一下小弟我的看法~



x+x+...+x = x^2

有幾個case (看原PO中間那段拆成整數小數應該是第三種case)



case 1

x的定義域只有整數 => GG...等號左邊和右邊都不能微分

(取極限是要看它附近的點的趨勢，但整數的附近沒有整數點，是isolated point)



case 2

x的定義域為實數但 3.1+3.1+...+3.1 視為 3.1+3.1+3.1

=>  x+x+...+x = x*[x]  ,  []為高斯記號  =>  同樣GG  因為x[x]在整數點不連續

不連續處一定不可微，因為f'(x)=lim  (f(y)-f(x))/(y-x)
                              y->x

如果分子無法趨近0，那分母趨近0時鐵定會爆炸



case 3

x的定義域為實數但 3.1+3.1+...+3.1 視為 3.1+3.1+3.1+(0.1*3.1)

=>  x+x+...+x = x^2

然而如果左邊要微分，不是想像中這麼簡單的

如同下面大大推文說的，x的值同時會影響個數的變化

設f(x)=x+x+...+x

(f(3+0.1)-f(3))/0.1 = ( 3.1+3.1+3.1+(0.1*3.1) - (3+3+3) ) / 0.1

=( 3*(3.1-3) + 0.1*3.1 ) / 0.1

= 3 + 3.1

因此當你把0.1改成0.01, 0.001, ...時，會發現他有靠近6的趨勢

嚴格的數學算法就是要先把他看成x^2才能微分QQ

總之左邊的微分確實也是等於2x的



順便類比個比較連續的例子

    x
d( ∫ f(x) dy )
    a                       x
---------------  =  f(x) + ∫ f'(x) dy
dx                          a


右式f(x)就是考慮x影響積分範圍的因素而跑出來的喔~

證明不難只要按照微分定義減個東西加個東西就OK了~



希望有解答到你的問題~

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◆ From: 140.112.217.1
※ 編輯: yasfun          來自: 140.112.217.1        (11/27 02:27)
※ 編輯: yasfun          來自: 140.112.217.1        (11/27 02:31)
推 itai        :最後一個式子證明不難，不過我看不懂有什麼意涵？
→ itai        :能不能提一下那個點，謝謝orz
→ supermicro  :一個積分的微分，影響位置有三個：函數、上下界
→ yasfun      :感謝樓上解釋~就只是積分邊界會影響微分結果而已XD
→ suhorng     :f(x)改成f(x,y)看起來可能比較明顯一點?