[機統] 關於條件期望值和條件變異數

[jackhzt (巴克球)]

X Y 都是一隨機變數 且其變異數均小於無限大

求證: Var(Y-E(Y|x))=E(Var(Y|x))


本來想說用 Var(Y)=Cov(Y Y)的方式去做
但是遇到 E(YE(Y|x))這東西不知道如何處理

請求高手救救我~

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◆ From: 218.161.96.206
推 ww770829    :我想你的符號應該有點問題 像是E(YE(Y|x))?
→ jimmy86204  :嗯~模考時遇到一模一樣的題目 那時不會 現在必須會
→ jimmy86204  :讓我想想~
→ yhliu       :E[E[Y|X](Y-E[Y|X])] = E[E[E[Y|X](Y-E[Y|X])|X]] =0
→ yhliu       :故 Var(Y) = Var(E[Y|X]) + Var(Y-E[Y|X])
→ yhliu       :由條件變異數恆等式
→ yhliu       :  Var(Y) = Var(E[Y|X]) + E[Var(Y|X)]
→ yhliu       :故得證 Var(Y-E[Y|X]) = E[Var(Y|X)].