Re: [機統] 關於條件期望值和條件變異數

[jimmy86204 (小廖)]

claim : Var(Y)=Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X))
                  part1       part2
proof the claim:

part1: 令E(Y|X)=m(x)

Var(m(x))=E(m(x)^2)-[E(m(x))]^2=E(m(x)^2)-[EE(Y|X)]^2=E(m(x)^2)-E(Y)^2

part2:

Var(Y|X)=E(Y^2|X)-(E(Y|X))^2

so, E(Var(Y|X))=EE(Y^2|X)-E(E(Y|X)^2)=E(Y^2)-E(m(x)^2)


part1+part2 得

Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X))=E(m(x)^2)-E(Y)^2+E(Y^2)-E(m(x)^2)=Var(Y)

得證


Now, Var(Y-E(Y|X))=Var(E[Y-E(Y|X)]|X)+E(Var[Y-E(Y|X)]|X)
                      part1              part2

part1:

Var(E(Y-E(Y|X))|X)=Var([E(Y)-EE(Y|X)]|X)=Var(E(Y)-E(Y) |X) =0

part2:

E([Var(Y-E(Y|X)]|X)=E(Var(Y|X))  (給定X條件下 E(Y|X)為一常數 變異數內常數可刪去)

part1+part2得

Var(Y-E(Y|X))=E(Var(Y|X))

得証

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◆ From: 61.230.99.9
推 jackhzt     :感恩 懂了