[微積] 有關泰勒展開式

[xavier13540 (公式)]

小弟最近在做一題泰勒展開式。

題目要求算出 f(x) = x cot x，在 x = 0 的泰勒展開式前四個不為零的項。

                       2    4    6
                      x    x    x
舉例來說，cos x = 1 - ─ + ─ - ─ + ...，那麼 cos x 在 x = 0 的泰勒展開式前四
                      2!   4!   6!

個不為零的項就是"..."前面的那四項。

我把 f(x) 做幾次微分，每次微分後都要取極限，而且越微越恐怖。

此外，我做到三階微分，卻只有 f(0) 和 f"(0) 不是零。

                2                2     2          4
//f"'(x) = 6 csc x cot x - 4x csc x cot x - 2x csc x，在 x = 0 的極限為 0。

                                                     6
我用 wolframalpha，發現展開到第四個不為零的項已經到 x  了。

我真的不想把 x cot x 微分六次，請問有沒有泰勒展開式的其他計算方式？

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→ vivianJ:五樓請給分
→ hahahaghost:等的到五樓嗎
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推 Lavchi:感謝五樓帶來精彩的講評
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◆ From: 140.112.196.111
推 suhorng     :sin(x)的泰勒展開式除以cos(x)的泰勒展開式
→ xavier13540 :(1-x^2/2!+x^4/4!-...)/(1-x^2/3!+x^2/5!-...)怎麼算
→ harveyhs    :直接除啊
→ CCWck       :我也是想到長除法..
→ suhorng     :是的 用直式除法 (只不過越高冪次的項擺越右邊
→ xavier13540 :可以說明這種操作是合法的嗎 我智商不夠好痛苦(?
→ suhorng     :#1FeGFPP6 (Math) 看你接不接受(最後面)這種說法XD
→ suhorng     :直式除法除出來的係數跟比較係數做出來的一樣
→ jacky7987   :你也可以比較係數阿 結果會根直接除法一樣