Re: [微積] 逆運算子＆一題fourier

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《tp62u04 (小凱小凱)》之銘言：
:   逆運算子 在   1                  1
:               ----- (cos(ax))=   ------
:               L(D^2)             L(-a^2)
: 可是必須-a^2不等於0
: 那如果剛好等於0是否只能慢慢用積的？  （ EX:  e^-x S e^x f(t) dt ?)
: 還是有別的算法？
: 舉例＠＠
: f(x)=t  0<t<2π f(t+2π)=f(t)
: solve (D^2+9)y=f(t) 的 particular solution
: 感謝神手板友了！！！！！！！ （跪
: ＰＳ 順便問一下...為什麼 這f(t)的 fourier series 的a0不是 (2π+0)/2 ?
:      還是解答寫錯了...我解答上面是給π/4＠＠

既然在原文底下推文連續搞笑，我只好負起責任好好回答了 ﹙ˊ_>ˋ﹚



首先，f 的級數首項：


            T
a0 = (1/T) S   f(t) dt        乖乖照定義來才不會出錯
            0

              2π
   = (1/2π) S    t  dt
              0


   = π





然後，你既然要解 (D^2+9)y=f(t)，需要的其實是

         1
   ------------
      D^2 + 9

才對。


所以你該擔心的其實是 (D^2 + 9) = 0，不是 D^2 = 0。




但是  (D^2 + 9) y = 0   就是通解而已，略過就好。


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4. 討厭學姊給她取的奇怪綽號，卻給小貓取了同一個名字
5. 極力維持自己嚴肅的形象，但是一戴上貓耳就會不自覺喵喵叫

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.110.184.241
推 tp62u04     :不能略過吧？ 我解答上面有多一項耶＠＠
→ tp62u04     :對呀 要擔心D^2+9=0 因此取係數的時候 n=3要被拿出
→ tp62u04     :拿出來另外考慮吧？ 我解答上面都會多出一項t*cos mt
→ tp62u04     :可是我不知道他怎來的........
我本來以為直接inverse Fourier過去就好。原來住在有限長t軸上面的函數不太一樣...



那這樣吧：

             ∞
f(t) = π +  Σ    (-2/n) sin (nt)
            n = 1



這個級數應該沒錯。






y(t) 也一樣先試著展開：

                ∞
y(t) =  a   +   Σ      a   sin (nt)
         0     n = 1     n

因為右邊只有 sin，左邊絕對不會出現 cos。




代進方程式：

         ∞      2                    (?)       ∞
9 a   +  Σ   (-n  + 9)  a  sin (nt)   =  π +  Σ    (-2/n) sin (nt)
   0    n = 1             n                    n = 1



對比係數，發現：

a   =  π/ 9
 0

             -2
a   =  ---------------        (n > 0, n!= 3)
 n       n (9 - n^2)


可是左邊的 n = 3 項消失了。不管你 a  取什麼，代進去直接是零。
                                   3


所以你需要找到另一個函數 g(t) 滿足    (D^2 + 9) g  =  -2/3 sin(3t)

拿來補上 n = 3 這項。




g 的特解你應該課本上看過了。就算沒看過，我也只能告訴你

g(t) = A t*cos(3t)

這樣帶進去再調整 A 就可以。解微方沒什麼道理，都嘛是你剛好知道答案﹙ˊ_>ˋ﹚




整理起來：


y(t) =  a   +   Σ      a   sin (nt)  +  A t*cos(3t)
         0    n != 3     n

                                          +  C1 sin(3t)  + C2 cos(3t)



以上。
※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.184.241      (12/06 01:24)
推 tp62u04     :感謝大大！！！！！！！！！！！！
※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.184.241      (12/06 01:36)