推 LimSinE :A=I, B任意，則B可表成f(A)？ 12/07 15:10
→ nobrother :我是把這種情況歸類在A為任意,B=I=f(A) 12/07 15:12
我發現
若A,B都是n*n矩陣
且AB=BA
則B=f(A)
(就是B可以表示成A的多項式)
例如
A=[1 0] , B=[0 0]
[0 0] [0 1]
AB=BA=[0 0]
[0 0]
B=f(A)=-A+I
我自己的證明是
因為是n*n的矩陣
所以pA(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0
根據Cayley-Hamilton定理
pA(A)=0=A^n+a_(n-1)A^(n-1)+...+a_0I
所以A^n=-a_(n-1)A^(n-1)+...+(-a_0)I
若定義β={I,A,...A^(n-1)}
dim(β)≦n
n*n
dim(R )=n^2
所以若B≠f(A)
B跟A會是線性獨立
所以AB≠BA
我知道我的證明很不嚴謹
但我覺得這是對的耶
請大家給我一點意見
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.253.12.118