推 cmrafsts :所有這樣的B組成一個subring，想不到其他的 12/07 19:50
推 nobrother :請問subring是甚麼意思? 12/07 21:16
推 LPH66 :sub-ring = 子環 12/07 22:24
以前學線代的時候我也有想過這個說...
其實問題應該改成這樣：
如果方陣 AB=BA
那麼是否存在矩陣 C 和多項式 f,g 使 A=f(C) 且 B=g(C) ?
想想吧XD
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 我發現
: 若A,B都是n*n矩陣
: 且AB=BA
: 則B=f(A)
: (就是B可以表示成A的多項式)
: 例如
: A=[1 0] , B=[0 0]
: [0 0] [0 1]
: AB=BA=[0 0]
: [0 0]
: B=f(A)=-A+I
: 我自己的證明是
: 因為是n*n的矩陣
: 所以pA(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0
: 根據Cayley-Hamilton定理
: pA(A)=0=A^n+a_(n-1)A^(n-1)+...+a_0I
: 所以A^n=-a_(n-1)A^(n-1)+...+(-a_0)I
: 若定義β={I,A,...A^(n-1)}
: dim(β)≦n
: n*n
: dim(R )=n^2
: 所以若B≠f(A)
: B跟A會是線性獨立
: 所以AB≠BA
: 我知道我的證明很不嚴謹
: 但我覺得這是對的耶
: 請大家給我一點意見
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◆ From: 114.24.2.54