[微積] 積分問題

[bugmens (2013新年快樂)]

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我有兩個問題
1.因為當初x,y積分範圍是從0~∞
  應該是第一象限的範圍
  所以θ取0~π/4是正確的嗎
2.變數變換後式子仍有r,θ
  接下來應該要怎麼寫才能算出答案

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◆ From: 1.164.235.183
推 LPH66       :1.正確 2.sin^2θ cos^2θ提出去內層積分外面
→ LPH66       :然後內層變數變換 u = r^2 → du = rdr 然後你就會了
推 LPH66       :                            du = 2rdr 修正一下 XD
感謝
我針對內層的積分作計算
   ∞ -u  2                2  -u        -u
  ∫ e  *u *(1/2)du =-1/2*u *e   + ∫u*e  du
   0
                           2  -u        -u    -u
                    =-1/2*u *e   + (-u*e  +∫e  du)

                           2  -u      -u  -u
                    =-1/2*u *e   - u*e  -e

                       -u      2
                    =-e  (1/2*u +u+1)

                       -r^2      4  2
                    =-e    (1/2*r +r +1)

                  把0~∞的範圍代進去卻有∞/∞
                  我有什麼地方忽略了嗎
※ 編輯: bugmens         來自: 1.164.216.225        (12/09 08:18)
推 LPH66       :應該只有 r=∞ 有問題吧; ∞/∞ 就做羅比達就好
→ LPH66       :羅比達一次後把 2r 消掉再一次再消就可以得到 0 了
→ LPH66       :啊, 剛剛才發現你圖裡的變換 e 的次方少除一個 2
→ LPH66       :難怪算起來好像不太對 XD
推 coolbetter33:我會想用gamma算.令t^2/2 = u吧 tdt=du
推 LPH66       :這樣做最後還是要用到Γ(1/2), 而Γ(1/2)=√π基本上
→ LPH66       :就是用這個做法求出來的, 我覺得差不多
→ sneak       : 應該只有 r=∞ 有問 https://daxiv.com
→ muxiv       : 啊, 剛剛才發現你圖裡 https://moxox.com