Re: [分析] Σ-∞^n / n*n!

[G41271 (茶)]

※ 引述《kenidensency (凌琪)》之銘言：
: 試求下列極限值。
:                            x^n
:         lim       Σ     ────
:       x->-∞    n in N    n * n!

簡單計算後可得

∞   x^n     x   e^t - 1         -x  1 - e^(-t)
Σ  -----  = ∫ -------- dt =  - ∫ ------------ dt
n=1  n*n!    0      t            0       t

令y=-x, 做分部積分:

y  1 - e^(-t)                     ｜y    y
∫ ----------- dt = (1-e^(-t))lnt ｜   - ∫ lnt*e^(-t) dt
0       t                         ｜0    0

                  y
= (1-e^(-y))lny - ∫lnt*e^(-t) dt
                  0

當y>>1時, e^(-y)→0, (1-e^(-y))lny → lny .

     ∞
另外 ∫lnt*e^(-t) dt = -γ, γ為Euler constant.
     0

所以所求

        ∞   x^n
 lim    Σ  ----- =  lim -ln(-x) - γ = -∞ -γ
x→-∞  n=1  n*n!   x→-∞


發散啦

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.26.74.242
※ 編輯: G41271          來自: 114.26.74.242        (12/10 17:30)
推 kenidensency:感謝。