[中學] 向量四點共線的問題

[linijay (Ajay)]

102年第三次學測北模第7題
設O、A、B、P為平面上相異四點，OP=xOA+yOB，其中x、y為實數，則下列哪些選項是正確的？
(1)若O、A、B、P四點共線，則x+y=1
====================
答案不包括上述的(1)選項，也就是說它是錯的。請問錯在哪兒？
====================
我的想法，以下連續的兩個大寫字母表示向量：
平面上O、A、B、P四點，已知A、B兩點相異，且A、B、P共線，
則必有實數t使 AP = tAB
OP = OA + AP
OP = OA + tAB
OP = OA + tOB - tOA
OP = (1-t)OA + tOB
(1-t)+t恆為1
====================
由以上推導，我看不出O點在哪裡會造成x+y=1有任何問題，
別管我的推導，總之請指教題中的選項錯在哪兒，謝謝。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.62.110.112
推 LPH66       :題目的兩個逗點中間是什麼式子?
抱歉，已修正
推 itsweb      :如果OABP共線 OP=xOA+yOB寫法不唯一
→ itsweb      :也就是OP = OA + tOB - tOA 這一行不一定要這樣合併
→ itsweb      :共線的話 表示OAOB向量平行
→ itsweb      :（不一定要合併成(1-t)OA+tOB
→ itsweb      :假設四點在數線上 O=0 ABP點的座標分別為pqr
→ itsweb      :那結果就是問你r=xp+yq  其中pqr已知
→ itsweb      :這條方程式兩個未知數(xy)有無限多組解
→ itsweb      :你可以實際標記例如A=1 B=5 P=7
→ itsweb      :那x=-0.5 y=1.5 或 x=2 y=1 都是解
it大的更正已照辦，讓我想想..
※ 編輯: linijay         來自: 61.62.110.112        (12/13 23:44)
※ 編輯: linijay         來自: 61.62.110.112        (12/13 23:47)
推 itsweb      :試試看這樣講 假設OB=kOA  只要四點固定 k t就固定
→ wayn2008    :想想向量的分點公式 課本或講義上的圖形 就會懂了
→ itsweb      :而且k t毫無關係  那(1-t)OA+tOB可以往下寫
→ itsweb      :變成(1-t)OA+ktOA=(1-t+kt)OA=(1+kt)-tOA
→ itsweb      :（等於是我把-t的這部份拿出來
→ itsweb      :=(1+kt)OA-(k/t)OB  而1+kt-(k/t)不必然為1
→ wayn2008    :http://ppt.cc/zu0D 這四點不一定共線
推 itsweb      :題目的前提是這四點共線（會導致x+y不必為1）
→ itsweb      :剛才只是把1-t+kt的-t拿出來  你也可以把0.5拿出來
→ wayn2008    :其實也不用想得這麼複雜吧...假設OP OA OB都同方向
→ itsweb      :變成(0.5+kt-t)OA+0.5OA OA帶回OB又會有不同結果 XD
了解了，謝謝^^
※ 編輯: linijay         來自: 61.62.110.112        (12/14 00:03)
→ wayn2008    :OP長度想成是6 OA長度想成1 OB長度也是1 這樣就好了?
→ wayn2008    :或是OB想成長度是2 也可以... 化簡可得 6=x+2y
→ wayn2008    :原PO推導的過程是在算ABP三點共線的性質而非題目要的
推 itsweb      :這題要強調的就是OAOB不平行才有共線定理
→ itsweb      :如果平行的話OA OB就可以相互取代～
→ sneak       : 變成(1-t)OA+k https://noxiv.com
→ muxiv       : 而且k t毫無關係   https://noxiv.com