[線代] negative definite

[nobrother (nono)]

Consider the quadratic form

F(x,y,z,w)=λ(x^2+y^2+z^2+w^2)+2xy-2yz+2xz

find the real values of λsuch that

the quadratic form is negative definite.

解答:
     [x]     [λ  1  1  0 ]                 T
 令X=[y] , A=[ 1 λ -1  0 ] , 則F(x,y,z,w)=X AX
     [z]     [ 1 -1  λ 0 ]
     [w]     [ 0  0  0  λ]

det(A-xI)=... =>得A的特徵值為λ,λ-2,λ+1,λ+1

因為F為negative definite form <=> A為negative definite form

<=>A的特徵值皆為負

所以當λ<-1 時,F為negative definite


我的問題是

如果用主子行列式(principle minors)來看

我假設若A為負定矩陣,則A的所有主子行列式的det值皆為負

(書上是只有說當A為正定時,主子行列式皆為正,

但我看證明過程,把正定改負定好像也是可以的)

那麼Δ_1(A)=λ<0

    Δ_3(A)<0

    Δ_4(A)=Δ_3(A)*λ>0

所以是我的假設錯了嗎???

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◆ From: 111.253.24.52
※ 編輯: nobrother       來自: 111.253.24.52        (12/20 15:29)
推 amozartea   :考慮[{-1 0}, {0, -1} ]此負定矩陣的子行列式,
→ amozartea   :顯然一階為負, 二階為正, 其實就是數到偶數個負號
→ amozartea   :就變正了
→ jimmy86204  :我記得那個定理就只能判斷正定 其他還是乖乖算吧QQ
推 THEJOY      :負定應該是主子矩陣行列式正負交錯
→ nobrother   :感謝大家  我耍笨了
→ wohtp       :整個矩陣乘個負號，負定就變正定了。然後照作就是。
推 jacky7987   :嚴格說應該是負正交錯XDDDD
→ lenux       :原來負定是正負交錯 當時不懂為什麼要把矩陣乘負再
→ lenux       :判定因為負的矩陣為正定 所以正矩陣為負定這麼繞
→ sneak       : 判定因為負的矩陣為正定 https://noxiv.com
→ muxiv       : 嚴格說應該是負正交錯X http://yofuk.com