大家好, 想請教幾個問題:
SL(2, Z) = {2x2 整數矩陣 α, det α = 1}
令N為一個正整數.
Γ_0(N) ⊆ SL(2, Z)為subgroup, 包含所有如下矩陣:
┌a b ┐
│ │ , c ≡0 (mod N)
└c d ┘
Γ_1(N) ⊆ Γ_0(N)為subgroup, 包含所有如下矩陣:
┌a b ┐
│ │ , c ≡0 (mod N), a≡d ≡1 (mod N)
└c d ┘
簡記為Γ= Γ_0(N), Δ= Γ_1(N)
再令n, m為正整數
┌m 0 ┐
α=│ │
└0 n ┘
考慮double coset ΓαΓ和ΔαΔ,
已知double coset可以寫成一些left coset的disjoint union:
ΓαΓ= ∪Γβ_i, ΔαΔ= ∪Δγ_j, for some β_i, γ_j為整數矩陣
請問:
1. β_i和γ_j有沒有比較好, 或explicit的表示法?
2. 在特殊情形下, 例如m = 1, n = p^2為一個質數的平方, p不整除N, ΓαΓ可以寫成
┌1 b ┐ ┌p h ┐ ┌p^2 0 ┐
│ │, 0≦b<p^2; │ │, 0<h<p; │ │
└0 p^2 ┘ └0 p ┘ └0 1 ┘
這p^2 + p個元素的Γleft coset的disjoint union, 也就是說β_i可以選成這些矩陣
我會驗證, 但這種表示法有沒有比較一般性的結果或理論? 還是它就只是被湊出來的?
(對其他代數群)
3. 對ΔαΔ, 以及m=1, n=s.t^2, 其中s為square-free,
假設s | N以及 n | N^r for some r >> 0,
γ_j可以選為這m個元素:
┌1 j┐
αε_j, 其中ε_j =│ │, 0<j≦m
└0 1┘
那麼在n不作這樣整除性假設時結果為何?
這幾個問題是我在讀志村1973的文章看到的,
http://www.jstor.org/discover/10.2307/1970831
由於我是初學, 看這些coset的時候很頭痛
但是又感覺它和李群與代數群與Lie type群的拆解有某種關聯,
志村的automorphic functions那本書我翻過一些了, 找不到更一般情形的解.
我主要的問題是在1973那篇的450頁中間這一句話:
T coincides with the restriction of [Δ_1 ξΔ_1]_k to G_k(N, χ)
煩請各位前輩解惑了...
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.250.51.153
※ 編輯: willydp 來自: 111.250.51.153 (12/28 09:56)