推 k10295 :是神父的書沒錯!!!我看懂了！太感謝了 12/28 14:04
※ 引述《k10295 (巴斯光年)》之銘言：
: http://ppt.cc/Z7yE
: 題目如圖，我想請問在那題的
: 倒數第三行
: =... ...
: =答案
: 因為那個... ...
: 所以看不太懂中間省略的步驟是怎麼得證的
: 我想應該和微積分有關吧?
: 自己試著證過但就是無法到那步
: 希望有人能幫幫忙
: 萬分感謝
這本是神父的書吧
好熟悉的排版唷XD
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如果分部積分那一段看的懂的話
應該會發現 ∫udv=uv-∫vdu 其中的uv這一項
上下限代入後=0
而-∫vdu這一項
跟原式做比較會發現
微分完一次之後
會以下的事情出現
(1) 因分部積分而多了一個(-1)
(2) f(x)微分了一次變成f'(x)
(3) 中間那一沱微分少了一次
根據以上三點規律
如果再做一次分部積分(第二次)
就會變成
(-1)^2 1 d^(n-2)
原式= ───── ∫ f"(x) ────── [(x^2 -1)^n] dx
(2^n)(n!) -1 d[x^(n-2)]
同理
再做一次分部積分(第三次)
(-1)^3 1 d^(n-2)
原式= ───── ∫ f"'(x) ─────[(x^2 -1)^n]dx
(2^n)(n!) -1 d[x^(n-3)
一般考試做三次應該就可以寫答案了
由規律可得
做完n次分部積分後
(-1)^n 1 (n)
原式= ───── ∫ [f (x)][(x^2 -1)^n]dx為解
(2^n)(n!) -1
(n) d^n
註: f (x) = ──── f(x)
dx^n
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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