※ 引述《jumbajuice (jumba)》之銘言：
: f(x)= x+ 2/x, 1/2≦x≦3
: 如何求f(x) 的最大值?
: 微分以後, 會發現f(x)有一個critical point在 x= 1/√2 ,
: 所以最大值可能發生在x= 1/√2,或1/2, 或3
: 問題是:
: 如果不微分的話 (高一, 還沒教到微分)
: 要怎麼求最大值?
: 謝謝
如推文的LPH66大大所言，只要看出反比的感覺就好很多。
這邊考慮雙曲線，雖然這樣好像超過高一的能力了。
(1) y = x + 2/x 限制 1/2≦x≦3
=> x^2 - xy -2 = 0
(2) 因為 σ = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4*(-2) = 9 > 0
=> 圖形是雙曲線或其退化。
|2A B D| | 2 -1 0|
(3) 因為 △ = | B 2C E| = |-1 0 0| ≠ 0
| D E 2F| | 0 0 -4|
=> 沒有退化
(4) cot2θ = (A-C)/B = -1
=> θ = -22.5° (看起來就很像雙曲線：xy=1，也就是反比的圖形)
(5) 若 x_1 < x_2
因為 y_2 - y_1 = (x_2 + 2/x_2) - (x_1 + 2/x_1)
2
= (x_2 - x_1)*[ 1 - --------- ]
x_1*x_2
其中 x_2 - x_1 > 0
2 2
而 1 - --------- > 0 <=> --------- < 1 <=> x_1*x_2 > 2
x_1*x_2 x_1*x_2
(a) 0 < x_1 < x_2 < √2 時
=> y_2 - y_1 < 0
=> y_1 > y_2
=> 圖形為遞減 (可惡好想用微分)
(b) √2 < x_1 < x_2 < 3 時
=> y_2 - y_1 > 0
=> y_1 < y_2
=> 圖形為遞增
(6) 由以上遞增遞減性，極大值發生在端點。(這也是LPH66大大的直覺XD)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.175.22.107
※ 編輯: cacud 來自: 1.175.22.107 (12/30 20:42)
※ 編輯: cacud 來自: 1.175.22.107 (12/31 07:36)