[線代] 垂直subspace所有向量

[alfadick (悟道修行者)]

令 V 為 R^n 的一個 subspace

一向量 n 垂直 V 所有向量 (即 n 在 V 的 orthogonal complement 裡)

若令有一向量 w 也垂直 n，

試證此 w 必在 subspace V 中。

我已經想了很久了，還是想不到證明。

我不想扯到矩陣row space, nullspace 什麼的，我想直接一點的證明~

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◆ From: 114.44.245.51
推 gj942l41l4  :R^3中  V為X軸  n=(0,1,0)  w=(0,0,1)  可是w不在V中
→ gj942l41l4  :我會錯意了嗎.....?
→ alfadick    :喔對欸 我是把某問題的一個環節獨立出來想要證
→ alfadick    :看來想錯了
推 jacky7987   :因為n的orthogonal complement比V大阿

正確問題應該是：


給定一個 subspace V，若有一個向量 w 和 V-perp 中所有向量均垂直，

則 w 必在 V 中。


希望可以不要用 (V 的 perp) 的 perp=V 這 Theorem 來證,

因為我查到的資料都用了 nullspace A perp= rowspace A 來證 (V-perp)-perp = V

而他們怎麼證 nullspace A perp= rowspace A? 亂七八糟 很不直覺...


所以我希望證w在V中的方式，可以有純粹向量處理的方法，我比較喜歡><

有請高手幫忙~~~
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.245.51        (01/01 17:51)
→ yhliu       :R^n 是 V 與 V^⊥ 的 direct sum.
→ yhliu       :w 垂直 V^⊥, 因此 w 在 V 中.