Re: [中學] 求助 三題證明

[cheesesteak (牛排‧起司)]

※ 引述《globecat (So What)》之銘言：
: 1.直角△ABC 中，∠C=90度，若 M 為BC的中點而且 M 到斜邊 AB 的距離為 d，證明
:   d≦(1/3) AM  ， 並說明等號成立情形

設 AB=c, AC=b, BC=a, d(AM,AB)=d.

ABC面積 = (cd/2)*2=ab/2    d=ab/2c  d^2=a^2*b^2/4(a^2+b^2)

(2AM)^2+a^2=2(b^2+c^2)  AM^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4=(a^2+4b^2)/4

AM^2/d^2=(a^2+4b^2)(a^2+b^2)/(a^2*b^2)

        =(a^2/b^2)+(4b^2/a^2)+5

       ≧2√4 +5 =9 (算幾不等式)

d≦AM/3  得證

: 2.設 a,b,c,d 為相異整數 f(x)為整係數多項式且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5，證明沒
:   有整數 k 使 f(k)=18。

令 f(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+5

f(k)=Q(k)(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)+5

若f(k)=18   Q(k)(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)=13

13為質數 但 k-a, k-b, k-c, k-d 為相異整數

[想成1,-1,±13  給 k-a, k-b, k-c, k-d 夾去配]

故不合

: 3.設<An>為等差數列且首項 A1>1，公差 d>0，則數列<log底數:An真數:A(n+1)>是遞增或
:   遞減數列?並證明你的結論。
: 謝謝大大!

Bn=log(An+1)/log(An)  Bn+1=log(An+2)/log(An+1)

Bn+1/Bn=(logAn)(logAn+2)/(logAn+1)^2

       <(logAn)(logAn+2)/[(logAn + logAn+2)/2]^2

註：log在底數>1時為凹向下 故logAn+1>(logAn + logAn+2)/2

       =4/(logAn/logAn+2 + logAn+2/logAn +2)

       <4/(2+2)=1  (算幾不等式)

且A1>1  d>0→ 對所有正整數n符合An恆大於1→logAn >0

故對所有正整數n Bn恆大於0

Bn+1<Bn → <Bn>遞減得證

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※ 編輯: cheesesteak     來自: 140.112.212.153      (01/04 23:45)
推 globecat    :感謝大大