這是93台大數學的考古題
題目:v_1=(1,2,3,4),v_2=(4,3,2,1),v_3=(1,3,2,4)
T
If you can find an orthogonal matrix A, A˙A = I
so that v_1˙A=(u_11,u_12,u_13,0),v_2˙A=(u_21,u_22,u_23,0),
v_3˙A=(u_31,u_32,u_33,0),then det(u_ij)=?
我的解法:
題目可看成
BA=C, 令A的行向量分別為A_1,A_2,A_3,A_4
B A = C
[v_1] [u_11 u_12 u_13 0]
[v_2] [A_1 A_2 A_3 A_4] =[u_21 u_22 u_23 0]
[v_3] [u_31 u_32 u_33 0]
T
可知(A_4) 屬於 ker(B)=span{(1,-1,-1,1)}
又A是orthogonal matrix
∴<A_i,A_j> = 0 ,for all i≠j
<A_i,A_i> = e_i
det(A) = ±1
T
取A_4 = (0.5,-0.5,-0.5,0.5)
再令B'=[B ]
[(A_4)^T]
=> B'A=[C ] = [u_11 u_12 u_13 0] = C'
[e_4] [u_21 u_22 u_23 0]
[u_31 u_32 u_33 0]
[0 0 0 1]
∴det(u_ij)=1*det(C)=det(C')=det(B')*det(A)= ±det(B)= ±30
但是解答是30
解答是把v_1,v_2,v_3,正交化
用類似QR分解的方法,蠻麻煩的,我就不打出來了
直接求出A
然後算得det(u_ij)=30
我覺得解答是錯的
因為A並不唯一
只要A_4屬於ker(B),其他的行向量可任意行交換或*(-1)
這樣都會影響det(u_ij)的正負號
請問我這樣想是對的嗎???
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