推 Prometric :謝謝! 01/09 00:04
※ 引述《Prometric (prometric)》之銘言：
: 想來請教大家一題線性代數
: 矩陣A= [1 -1
: 1 5]
: 求 cos A 之值 及 e^A 之值
方法一:
A=[1 -1] => p_A(x)=x^2-6x+6=(x-(3+√3))(x-(3-√3))
[1 5]
eigenvalue分別是3+√3,3-√3
相對應的eigenvector分別是(2-√3,-1),(2+√3,-1)
-1
∴A=PDP , P=[2-√3 2+√3] , D=[3+√3 0]
[ -1 -1] [ 0 3-√3]
cos(A)=P[cos(3+√3) 0]P^(-1)
[ 0 cos(3-√3)]
e^A=P[e^(3+√3) 0]P^(-1)
[ 0 e^(3-√3)]
方法二:
∵p_A(x)=x^2-6x+6=(x-(3+√3))(x-(3-√3))
根據Cayley-Hamilton定理,(A-(3+√3)I)(A-(3-√3)I)=O
令f(x)=cos(x)=q(x)(x-(3+√3))(x-(3-√3))+a(x-(3+√3))+b
=>cos(3+√3)=b => cos(3+√3)-cos(3-√3)
cos(3-√3)=-2√3a+b a=----------------------- , b=cos(3+√3)
2√3
∴cos(A)=f(A)=q(A)(A-(3+√3)I)(A-(3-√3)I)+a(A-(3+√3)I)+bI
=a(A-(3+√3)I)+bI
e^A的算法類似
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.253.8.190