Re: [中學] 三角函數(延伸題)是否為週期函數的判別

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

※ 引述《deryann (星辰)》之銘言：
: f(x) = sin (2x) + cos(sqrt(3)x)
: 使用 先找前項與後項 的週期，再找其最小公倍數的整數倍。
: 無法找到!
: 但應該要如何真確的說明其無週期呢!?

設f(x) = sin (2x) + cos(sqrt(3)x)為週期函數，

則必存在正數p使得f(x+p)=f(x) for all x 屬於R

又f(0)=1, f(p) = sin2p + cos(sqrt(3)p), f(-p) = -sin2p + cos(sqrt(3)p)

=> sin2p + cos(sqrt(3)p) = 1, sin2p + cos(sqrt(3)p) = -sin2p + cos(sqrt(3)p)

=> sin2p = 0,  cos(sqrt(3)p) = 1

=> 2p = nπ, sqrt(3)p = mπ, 取m,n為正整數

=> (sqrt(3))/2 = m/n 為有理數, 矛盾(sqrt(3))/2為無理數

故f(x) = sin (2x) + cos(sqrt(3)x)不為週期函數

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◆ From: 114.39.107.135
推 deryann     :謝謝