推 adu :原來如此 感謝! 01/10 05:35
→ adu :請問這題是屬於實變的範圍嗎？大概是大幾的? 01/10 05:35
→ Eliphalet :通常實變是開在研究所的課 不過很多高微的書後面都有 01/10 08:11
→ Eliphalet :提到一些測度論 01/10 08:12
推 cacud :如果c介於0到1就是個收縮映射，分析上很好用喔! 01/10 08:18
※ 引述《adu (^_^)》之銘言：
: 令 A in R^n, A zero measure
: f:A -> R^n, ||f(x)-f(y)|| < C*||x-y||, x,y in R^n, C constant
: proof: f(A) zero measure
選取 open set U 包含 A
令 U = ∪ I_n , {I_n} nonoverlapping closed intervals
且 Σm(I_n) < ε
因為 |f(x)-f(y)| < C|x-y| => diam(f(I_n)) < c diam(I_n)
令 B_n 為一 cover f(I_n) 且半徑為 c diam(I_n) 的 open ball
=> m(B_n) = n^(n/2) c^n ω_n m(I_n) , ω_n 單位球的 n volume
=> f(A) 包含於 ∪B_n
m(∪B_n) ≦ n^(n/2) c^n ω_n ε
=> f(A) outer measure zero
=> f(A) measure zero
大致這樣吧...
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