Re: [其他] 一階、命題、符號、述詞邏輯

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《recorriendo (孟新)》之銘言：
: 標題: Re: [其他] 一階、命題、符號、述詞邏輯
: 時間: Sat Jan 18 00:40:59 2014
:
: ※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: : 寒假想讀一些數理邏輯的書。已經搜刮到了。只是在開始閱讀之前...
: : 想請問符號邏輯、一階邏輯、命題邏輯、符號邏輯、述詞邏輯、
: : 謂詞邏輯、數理邏輯...
: : 這些邏輯的分別在哪裡？我想至少要知道他們這些邏輯分別是指什麼，
: : 再往下念會覺得比較踏實。
: : 手邊沒有書好查，wiki越看越混亂@@。
: : 希望板上朋友能解釋一下，感激不盡！
:
: 古典邏輯是用"階"來分的
:
: 零階就是所謂的語句邏輯 用的語言就是語句符號 P Q R
:
: 每個符號有真或假兩種值


所以只要沒涉及到量詞forall、exist的敘述，

好比"太陽很強","地球是圓的", ...  都是語句邏輯=命題邏輯=零階邏輯嗎？

語句邏輯英文是?(wiki好像沒對應的中文頁
:
: 一階以上要設一個model 可以談論裡面的東西(通常稱作x y z等等)
:
: 可以用的語言包括關係、函數、等號、量詞等等
:
: 所以基本語句型態會有 P(x) x=y  對於所有x存在y使得Q(x,y)  等等
:
: 一階和二階的分別是對語言的限制
:
: 一階邏輯裡量詞僅限於變數 (對於所有x 存在x)
:
: 二階邏輯裡量詞可用在關係 (對於所有P 存在P)

請問一下，是不是幾乎所有在大學數學系範圍內會遇到的，都是一階邏輯呢？

譬如極限的定義：


對於所有E, 對於所有f:E->R, 對於所有c,L屬於R,

               def
lim  f(x)=L  <------>  對於所有ε, 存在δ, 對於所有x屬於E, ...
x->c

這些應該都是在一階邏輯裡面兜吧？


我有點懶惰, 暫且不太想深入到二階邏輯去

因此若微積分、分析、代數、實變複變、微幾的定義、定理、敘述、證明都

只侷限在1st-order裡。那我就可以放心不念了 =v=


另外二階邏輯的例子有哪些呢？能否舉一兩個？

大學數學系裡面如我所想的確沒有例子可舉～？
:
: 當然除了古典邏輯外 還有更多非古典邏輯 像模態邏輯 時間邏輯 構造性邏輯等等
:
: 這些就假設了更複雜的model了
:
: (模態邏輯->假設有很多"可能世界"
:  時間邏輯->假設很多"時間點"
:  構造性邏輯->假設很多"information state" )
:
: 當然 一般來說要研究這些通常都在熟讀一階邏輯之後了

感謝這提醒，這樣我比較脈絡跟學習的切入方式了

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◆ From: 220.136.212.209
※ 編輯: alfadick        來自: 220.136.212.209      (01/18 01:00)
推 recorriendo :分析裡的最小上界公理是個二階陳述 但一般不會有人為
→ recorriendo :了分析去學二階邏輯的
→ alfadick    :haha
→ alfadick    :btw, 我看起來只像單純的一階耶???
→ kaifrankwind:sentential logic 雖然語句邏輯和命題邏輯是同一套東
→ kaifrankwind:但有些人可能會基於哲學上的考量 只想用其中一種稱呼
→ kaifrankwind:但那跟做數學就沒關係了...
推 APM99       :你只是想念   微積分、分析、代數、實變複變
→ APM99       :等這些科目  確實可以不用念邏輯...
→ alfadick    :沒有 我對邏輯很有興趣 但是短時間懶得再念到二階QQ
→ alfadick    :所以要找個理由合理化他XD
→ alfadick    :想好好念數理邏輯是真的, 完全基於興趣
推 cmlrdg      :回原po,一樓說的最小上界公理可以是一階或二階敘述
→ cmlrdg      :如果討論的個體僅限實數,那麼那個公理就必須用二階
→ cmlrdg      :如果討論的個體不只實數,例如含括所有集合在model裡
→ cmlrdg      :(實際例子是ZFC的model)那麼一樓說的公理就可以用
→ cmlrdg      :集合論的一階語言來描述
推 recorriendo :出發點不一樣 在集合論理那就不是公理了 從集合論來
→ recorriendo :看的話 實數是被構造出來的 如果是用公理來定義實數
→ recorriendo :那用到的公理就會有個二階陳述
→ cmlrdg      :那個公理在集合論來看比較像是定義,關於實數的定義
→ cmlrdg      :不過我個人認為,定義和公理某種程度上沒什麼分別
→ cmlrdg      :那個定義是在說集合論model裡的哪些個體(或集合)是
→ cmlrdg      :"實數".這個model裡還有一些不是實數的元素.
→ cmlrdg      :如同re大所說,如果我們希望model裡面的個體恰好是全
→ cmlrdg      :體實數,那麼採用集合論公理就不恰當.要改採實數公理(
→ cmlrdg      :或定義),其中最小上界公理只能用二階語言描述.
推 cmlrdg      :原po對邏輯很有興趣很好(我自己也是XD).關於二階敘述
→ cmlrdg      :的實際例子還有二階Peano算術.這個算術所定義的model
→ cmlrdg      :是唯一的,也就是全體自然數.
→ cmlrdg      :這個算術唯一一個二階敘述是歸納公理.不過強烈建議原
→ cmlrdg      :po還是挑一本教科書來念,對這些名詞或解釋才會有感覺
→ cmlrdg      :標準教科書一定會討論一階,先把它搞定吧;)
→ cmlrdg      :很多教科書也會講到二階或其他像infinitary這種一階
→ cmlrdg      :邏輯的延伸.等你完成一階的部分再決定要不要接觸其他
→ cmlrdg      :進階的題材也不遲XDD
推 cmlrdg      :話說在ZFC集合論的model裡構造實數系會有個詭異現象:
→ cmlrdg      :根據Loewenheim-Skolem定理,存在ZFC的model其本身是
→ cmlrdg      :可數.因此其內部構造出的實數系外觀來看也是可數的.
→ cmlrdg      :但從該model內部來看那個實數系卻是不可數...
→ recorriendo :樓上那是著名的Skolem paradox 不過他只是直覺上無法
→ recorriendo :法接受而已 就數學的角度看來是沒問題的
→ recorriendo :順帶一提 傳統數學理論假設的宇宙是沒有type的 所以
→ recorriendo :集合論模型裡所有東西都是集合 分析模型裡所有東西都
→ recorriendo :是實數 這是為何分析的公設要用到二階陳述的原因
→ recorriendo :想更清楚的話不妨參考我以前發過有關type的文章
→ cmlrdg      :有些集合論教科書會分出兩種types:urelements和sets
→ cmlrdg      :例如George Tourlakis的Lectures in Logic and Set
→ cmlrdg      :Theory, vol.2
→ cmlrdg      :H.-D. Ebbinghaus等人所著的Mathematical Logic第七
→ cmlrdg      :章有提到Skolem paradox.Model裡的實數系外觀可數是
→ cmlrdg      :是從meta角度來看;在其內部看起來不可數只是因為那個
→ cmlrdg      :讓它和model內的自然數系1-1 mapping的函數不在model
→ cmlrdg      :內部而已.
→ cmlrdg      :上面那本書有提到Skolem paradox讓人困惑的原因在於
→ cmlrdg      :把metalanguage和object language混為一談所致.
→ sneak       :  http://yofuk.com
→ muxiv       : 沒有 我對邏輯很有興趣 https://moxox.com