Re: [中學] 部分分式的拆法

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《ccccc7784 (龍王號)》之銘言：
: 請問像這兩種類型的部分分式是怎麼拆的??
: http://i.imgur.com/3sqvwjE.png
: 感謝


分母是 (x-1)(x^2+1)^2, 在實係數時考慮拆解成

 A/(x-1) + (Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2


分母是 (x+1)(x^2-2x+3), 考慮拆解成
A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-2x+3)


基本上, 若分母是 p(x)q(x), 而 p, q 是互質的多項式,
那麼, 部分分式是拆解成:
 r(x)/[p(x)q(x)] = u(x)/p(x) + v(x)/q(x)
其中 deg(r)<deg(pq), deg(u)<deg(p), deg(v)<deg(q).


當然 p, q 分別可再分解時, 可依此原則繼續分解.
例如
  (2x^2+3x-1)/[(x+1)(x+2)(x+3)]
    = A/(x+1) + (Bx+C)/[(x+2)(x+3)]
    = A/(x+1) + B'/(X+2) + C'/(x+3)


而 r(x)/[p(x)]^k 若是真分式, 則可將 r(x) 連續除以
p(x), 取餘式, 而分解出:
  r(x)/[p(x)]^k = r_1(x)/p(x) + r_2(x)/[p(x)]^2 + ...
                                     + r_k(x)/[p(x)]^k
其中 r_1,...,r_k 的 degree 都是比 p 的 degree 小.

以第一題為例,
(2x+2)/[(x-1)(x^2+1)^2]
   = A/(x-1) + (Bx^3+Cx^2+Dx+E)/(x^2+1)^2
   = A/(x-1) + (B'x+C')/(x^2+1) + (D'x+E')/(x^2+1)^2

由第一個等式, 得
  2x+2 = A(x^2+1)^2 + (x-1)(Bx^3+Cx^2+Dx+E)
代 x=1 得 4 = 4A, 故 A=1.

所以,
(2x+2)/[(x-1)(x^2+1)^2]
   = 1/(x-1) + (Bx^3+Cx^2+Dx+E)/(x^2+1)^2
而由上一段的計算式, 得
   Bx^3+...+E = [(2x+2)-A(x^2+1)^2]/(x-1)
              = -x^3-x^2-3x-1
將 -x^3-x^2-3x-1 除以 x^2+1, 得商式 -x-1,
餘式 -2x, 即
  -x^3-x^2-3x-1 = (-x-1)(x^2+1)+(-2x)
故
    (Bx^3+Cx^2+Dx+E)/(x^2+1)^2
        = (-x-1)/(x^2+1) + (-2x)/(x^2+1)^2
即
  (2x+2)/[(x-1)(x^2+1)^2]
     = 1/(x-1) - (x+1)/(x^2+1) - (2x)/(x^2+1)^2


當然也可以由
  (2x+2)/[(x-1)(x^2+1)^2]
     = A/(x-1) + (B'x+C')/(x^2+1) + (D'x+E')/(x^2+1)^2
直接去解係數 A, B',...,E'.




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推 ccccc7784   :很清楚！感謝～