這種題目都是要先猜出一個 homogeneous sol.
然後再用 variation of parameter 把通解解出來
比較常猜的其中幾種 y_h:
n λx
x , e , cos(nx)
如果代入都發現不對的話
那麼就檢查是否為 exact ODE
也就是 a_2(x) * y" + a_1(x) * y' + a_0(x) * y = 0
是否滿足 a_0(x) - a_1(x)' + a_2(x)" = 0
若滿足就可以降階求解
倘若依然不滿足
就要考慮因變數變更法或自變數變更法
前者在 y" + p(x)y' + q(x)y = 0 時
1 2 1
若滿足 q - ---p - ---p' = constant 或 constant/(x^2)
4 2
即可令 u = exp[(-1/2)∫p(x) dx]
y = uv 求解
後者有點忘記
可以請其他板友補充
※ 引述《GeeDuTu (基督徒)》之銘言：
: 這些是幫別人解題的時候遇到的，但是好像很少碰過這種變係數的類型
: 1.
: x y'' - (3x^2+1)y' + 2x^3y = 0
: ans:c1 Exp[x^2/2] + c2 Exp[x^2]
因變數變更法
: 2.
: x^2 y'' - (x^2 + 2 x) y' + (x + 2) y = x^3 Exp[3 x]
: ans:C1 Sin[x]+C2 Cos[x]+xExp[x]/2
用 cos(nx) 的 y_h 來猜就可以湊到一個 homogeneous sol.
剩下再用 y = uv
: 3.
: y''+(2/x)y'+y/x^4 = (2x^2+1)/x^6
: ans:C[2] Sin[1/x] + C[1] Cos[1/x] + (Sin[1/x]^2 + Cos[1/x]^2)/x^2
看起來像自變數變更法
不然就是題目要給提示才會想到要令 t = 1/x
: ans的部份是我用數學軟體解的
: 請問這種類型，也不是Cauchy Euler，還有什麼辦法嗎?
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