推 GeeDuTu :感謝 01/20 22:48
※ 引述《GeeDuTu (基督徒)》之銘言：
: 這些是幫別人解題的時候遇到的，但是好像很少碰過這種變係數的類型
: 1.
: x y'' - (3x^2+1)y' + 2x^3y = 0
: ans:c1 Exp[x^2/2] + c2 Exp[x^2]
let D=d()/dt , t = x^2 : (D^2 - 1.5D + 0.5)y = 0 , (常係數)
=> y=c1 exp(0.5t) + c2 exp(t) = c1 exp(0.5x^2) + c2 exp(x^2)
找t的過程有點多就不打了
: 2.
: x^2 y'' - (x^2 + 2 x) y' + (x + 2) y = x^3 Exp[3 x]
: ans:C1 Sin[x]+C2 Cos[x]+xExp[x]/2
此題答案錯摟
觀查知y=x為一齊性解 設另一齊性解y = xv ,v = v(x)
=> v" - v' = 0 , v = c1 exp(x) + c2 取v = exp(x)
=> y = x exp(x)為另一獨立齊性解
=> yh = c1 x + c2 x exp(x) ,齊性解
令yp = ψ1 x + ψ2 x exp(x) , ψ1=ψ1(x) , ψ2=ψ2(x) 帶入
參數變異法............ : yp = x exp(3x)/6
=> y = yh + yp
: 3.
: y''+(2/x)y'+y/x^4 = (2x^2+1)/x^6
: ans:C[2] Sin[1/x] + C[1] Cos[1/x] + (Sin[1/x]^2 + Cos[1/x]^2)/x^2
: ans的部份是我用數學軟體解的
: 請問這種類型，也不是Cauchy Euler，還有什麼辦法嗎?
令 D=d()/dt , t = 1/x : (D^2 + 1)y = 2 + t^2 同上題
求yh = ...
求yp = ...
還原變數
找t的過程有點多就不打了
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