Re: [微積] integral的定義沒有註明bounded function

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《RedGrocery (johnathonchun)》之銘言：
: 推 alfadick    :ps1: 你lim裡面的sigma拆錯了，i≠j那邊              02/03 10:19
: 推 alfadick    :ps2: 你紅色那一項不是const常數嗎，並不是數列       02/03 10:23
: 推 alfadick    :ps3: 就算你的方法真的可以證明出了紅色那項不收斂    02/03 10:30
: → alfadick    :(我認為你那樣寫寫錯了)　萬一後面的sigma也不收斂    02/03 10:31
: → alfadick    :兩個不收斂數列相加之後很可能會收斂                 02/03 10:31
: → alfadick    :邏輯上來講，在某種sample取樣之下，真的有可能如此   02/03 10:36
: → alfadick    :但是for every sample都會這樣，不太可能             02/03 10:36


我只補充我這段話。

好比函數f(x)=1/x　（要讓他在x=0上都有定義，以便討論積分負跨正的情形，

                    so 定義他在x=0 為7, 其他時候為1/x）

然後觀察-10~10之間的某個取樣的Riemann Sum。

在0~10的時候，顯然f是unbounded，x很靠近０+的時候，f(x)可以飆到正無限大，

所以那個Riemann Sum 隨著分割變細而收斂或發散到+(無限大)

　　　　↑取樣sample為右端點


在-10~0的時候，顯然f是unbounded，x很靠近０-的時候，f(x)可以飆到負無限大，

所以那個Riemann Sum 隨著分割變細而收斂或發散到-(無限大)

　　　　↑取樣sample為左端點


但是合在一起算的時候，f這個unbounded的函數的   lim　  Σ... 的確收斂
                                            n->無限大




http://ppt.cc/yG8l


: → alfadick    :所以f is integrable(Stewart's def)-> f bdd         02/03 10:37
: → alfadick    :是對的。只是在寫證明時，用你那寫法好像不太好寫     02/03 10:37
: 推 yueayase    :我在想他的sigma,應該分成|f(x)|<M for some M        02/03 11:09
: → yueayase    :和|f(x)| > M for every M, 然後絕對值都是非負的     02/03 11:10
: → yueayase    :應該不難得到contradiction                          02/03 11:10

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.136.215.106
→ yueayase    :你這例子是∫[-10,10](1/x)dx?
→ alfadick    :嗯嗯
→ alfadick    :但根據正規定義,我那個f是unbdd,並不可積
→ alfadick    :只是恰好在取樣為某種sample(右端點 左端點)時
→ alfadick    :partition越割越細，limΣ=定值  (Σ收斂)
→ alfadick    :(ps: 不能講Riemann Sum收斂, 要對於任何sample
→ alfadick    :P越割越細, limΣ還能趨近於定值,才能說黎曼和收斂)
※ 編輯: alfadick        來自: 220.136.215.106      (02/03 13:08)
推 Linethan    :感覺怪怪的 我記得無窮大減去無窮大是無定義的
→ Linethan    :然後 黎曼和是對interval中取"任意點"都能計算極限
→ Linethan    :而且極限還要相等 所以只考慮左跟右端點也是不夠的吧
→ Linethan    :啊 沒事 我誤解你的意思了XD
 我剛好按到Edit XD

 我只是點出Red大上篇文章的證明邏輯嚴謹性不夠


 因為一部分Σ加到無限大，另一方面也可能有一部分Σ加到負無限大而抵銷
※ 編輯: alfadick        來自: 220.136.215.106      (02/03 14:49)
→ yhliu       :考慮 f(x)=1/x, 0<x<1 (端點任意補值). 考慮任意分割
→ yhliu       :在 [0,x1] 這個子區間, 取 t1 = x1/n, 則黎曼和是
→ yhliu       :n + Σ_{i=2,n} (1/t_i)(x_i - x_{i-1})
               前面的n是怎麼來的???
→ yhliu       :且不管後面 i=2 to n 的那一串總和收儼與否, 單是第
→ yhliu       :一項就發散到無窮大了.
※ 編輯: alfadick        來自: 220.136.215.106      (02/03 17:56)
→ yhliu       :假設所考慮的分割是 n 個子區間, 也就是說除兩端點外
→ yhliu       :另外取 n-1 個分割點.
→ sneak       : 啊 沒事 我誤解你的意 https://muxiv.com
→ muxiv       : 而且極限還要相等 所以 https://muxiv.com