[微積] 變數變換積分結果不同

[endlesschaos (土狼)]

目前在算材料力學的 SIF

在解決根號裡面有 (a+x)/(a-x) 的時候

分別使用了兩種不同的方式來積分


1. 分子分母同乘以 (a+x) 後令 x = asinθ

   分子湊成完全平方

   分母則是 (acosθ) 的平方

2. 令 x = acos2θ 並將分子分母同除以 2

   分子與分母分別成為 cosθ 和 sinθ 的平方


可是兩種變數變換積分得出來的結果卻不同

如連結所示

http://limelinx.com/c9xxe

有想過可能是反三角定義域的問題

可是檢查了幾遍都看不出所以然來

想請板友幫忙

感謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 155.69.173.200
推 cheesesteak :微分看看就知道了阿 只差在積分常數
→ endlesschaos:我知道第二個才是對的  可是不知道第一個錯在哪
推 a016258     :微過了嗎?
推 cheesesteak :arccos(-b/a)=pi-arccos(b/a)才對
→ cheesesteak :所以用兩倍角代換的結果應該是
→ cheesesteak :2p*sqrt(a)*arccos(b/a) / sqrt(pi)
→ cheesesteak :arccos(b/a)=pi/2-arcsin(b/a)代換掉就跟另一個一樣
感謝 cheesesteak 大

最後把 1/2 一起丟出去時 pi 分母的 2 忘記一起丟掉了！！

著實感恩
※ 編輯: endlesschaos    來自: 155.69.173.200       (02/08 00:45)
→ endlesschaos:順帶一提  在最後代值前都是正確的  所以微分無誤