推 adu :感謝您1 02/09 05:40
※ 引述《adu (^_^)》之銘言：
: 對於n+1點做n次的interpolation
: 設存在P1和P2 並令P:=P1-P2
: !
: 則P有最高n次和至少n+1零點 => P為0 => P1 = P2
: 存在性則來自唯一性跟基底
: 這是我學到的證明 不管對Lagrange, Hermite, Newton...都類似
: 可是我看不懂為什麼!處可以得到P為0
: 而且存在性怎麼跟出來的？
你說的有點問題，以拉格朗日插值多項式來說，
存在性是可以直接構造的, 而 "唯一性" 才是來自基底和存在性.
(這是因為零多項式在基底表示之下，係數具有唯一性)
另一個問題：P有最高n次和至少n+1零點 => P為0 => P1 = P2
證明如下：命 C 為複數形成的體.
我以多項式 f(x) = ax^2 + bx + c (a, b, c in C) 為例證 (即 n = 2)，
若 f(x) 有三個相異根 α, β, γ in C. 則 f(x) = a(x-α)(x-β).
推得 0 = f(γ) = a(γ-α)(γ-β), 因此 a = 0 (因為 α,β,γ 相異).
設 P 有兩種表示法 P1, P2. 取 P1 - P2 = f(x). 則 P1 = P2.
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