Re: [中學] 用不用數學歸納法？

[LimSinE (r=e^theta)]

其實這個例子嚴格來說要用數學歸納法
這是因為真正的證明不能有不限長度的式子，或是有不限長度的推導

例：
(P'BP)(P'BP)...(P'BP) =  消消消  = P'B^n P    (*)

我們看到對於不同的n，證明中的"..."和"消消消"都代表越來越長的式子和推導。
到底要怎麼知這個推導沒有問題？

事實上心中想的是，我可以消k個變成 P' B^k PP' B P ... P' B P
再多消一個時變成 P' B^k+1 PP' B P... P' B P
(第二行的...比第一行的...少一個P'BP)


可是，這就是數學歸納法！
也就是就算是我們習慣如(*)的證明，它其實也隱藏著數學歸納法。

其他的例子像是
自然數的加法乘法的分配律、結合律、或是一般指數的乘法指數律
這些基本的東西，證明都是靠數學歸納法。


另外一個問題是，數學歸納法到底是不是一定要寫成公文的形式？
1. 設當n=1時...
2. 設當n=k時...則當n=k+1時...
3. 由1.2. 及數學歸納法知，對所有的自然數n ...

我只能說，這純粹是高中初學數學歸納法的練習，大學數學就幾乎沒看過這種形式了。
只要大家知道你在用數學歸納法(常見的字是 done by induction)，
也驗證了該驗的東西，其他就不管了。如(*) 的"..."法通常也是可接受的。



※ 引述《ma4wanderer (師大之狼)》之銘言：
: 有時候數學歸納法會很好用
: 但有時候卻覺得有點多餘？
: 印象最深的例子是
: 若 n*n 方陣A=P'BP  P'是P的反矩陣
: 試證任意正整數n A^n=P'(B^n)P
:             　　　  (     　  n個　      )
: 高中的時候總有人會寫(P'BP)(P'BP)...(P'BP)=消...=P'(B^n)P
: 然後老師就會嗆白癡給你1分叫你滾蛋別讓我在地表上看到你
: 我認為數學歸納法的時機應該是在給定某些公式的時候，
: 讓我們不必再回頭從無到有生出公式來，同時驗證這個公式，
: 有時候也會是一個「比較好」的證明、「較容易驗證給別人看」的方式。
: 例如:
: sum i(from 1 to n)=(n+1)(n)/2
: n*n方陣A B，detAdetB=detAB
: 每次看到高中老師總是堅持用數學歸納法證明最上面那題，總覺得有那麼點奇怪。
: 更不用說有些題目也會限制在正整數，可是數學歸納法沒啥幫助的題目
: 例如log_n[n+1] > log_(n+1)[n+2]
: 回到最上面
: 題目說好了for all n in N，做法是take arbitrary n in N來證明為什麼不行？
: 害我一直想不透失眠了好幾年，每天半夜在學校鬼混被當成變態;(

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.128.179
推 bjiyxo      :想問是否有不限長度的如此推倒法是錯的
我想應不至於到「錯的」，這是因為其實真正不限長度的證明你寫不出來！

你實際寫出來的字句當然是有限的，
這表示你用某種有限的方法去形容無限的東西。
方法有很多，像數學歸納法就是很常見的一種。
也正因為你和讀者都用這種有限的方法去理解，所以大家都能看懂。

那麼，其實這一段藏在心裡的證明就是有限長度了。



推 ma4wanderer :恩..
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.85.164.215       (02/10 18:30)