Re: [中學] 用不用數學歸納法？

[recorriendo (孟新)]

※ 引述《ma4wanderer (師大之狼)》之銘言：
: 有時候數學歸納法會很好用
: 但有時候卻覺得有點多餘？
: 印象最深的例子是
: 若 n*n 方陣A=P'BP  P'是P的反矩陣
: 試證任意正整數n A^n=P'(B^n)P
:             　　　  (     　  n個　      )
: 高中的時候總有人會寫(P'BP)(P'BP)...(P'BP)=消...=P'(B^n)P
: 然後老師就會嗆白癡給你1分叫你滾蛋別讓我在地表上看到你
: 我認為數學歸納法的時機應該是在給定某些公式的時候，
: 讓我們不必再回頭從無到有生出公式來，同時驗證這個公式，
: 有時候也會是一個「比較好」的證明、「較容易驗證給別人看」的方式。
: 例如:
: sum i(from 1 to n)=(n+1)(n)/2
: n*n方陣A B，detAdetB=detAB
: 每次看到高中老師總是堅持用數學歸納法證明最上面那題，總覺得有那麼點奇怪。
: 更不用說有些題目也會限制在正整數，可是數學歸納法沒啥幫助的題目
: 例如log_n[n+1] > log_(n+1)[n+2]
: 回到最上面
: 題目說好了for all n in N，做法是take arbitrary n in N來證明為什麼不行？
: 害我一直想不透失眠了好幾年，每天半夜在學校鬼混被當成變態;(

從根本上來講 數學歸納法是建構在遞迴式定義上的

要證明某遞迴定義滿足某條件 就必須用歸納法才算符合數學的嚴密性

莫說你舉的例子 你如果去翻數學基礎(集合論)的書

會發現竟然連自然數加法交換率 m+n=n+m 都要用數學歸納法來證!!

這又是為何呢

那是因為"加"這個函數 是用(+1)這個函數遞迴定義而成的

也就是說定義 m+0=m, m+(n+1)=(m+n)+1

以上兩個關係式即定義了"加"這個函數

當要證明"加"滿足交換率 就得證明你當初定義"加"用的兩個關係式滿足交換率

亦即證明m+0=0+m, m+(n+1)=(n+1)+m

這就是數學歸納法了


矩陣的次方 也是由遞迴關係式定義的 (A^0=I, A^(n+1)=A^n*A)

在數學上A^n=AA...A只是書寫方便而已 並非真正嚴格的表示

所以說 要證明對於所有n A^n如何如何 就必須回到原本的定義來證明

這是歸納法為何必要的原因

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 205.175.97.136
→ xcycl       :inductive definition 也是電腦科學的基礎之一 ...
※ 編輯: recorriendo     來自: 205.175.97.136       (02/09 15:05)
→ wohtp       :矩陣的次方 A^n 怎麼不是 AA...A？
→ wohtp       :這個定義跟遞迴式的定義完全等價啊
→ xcycl       :矩陣次方的嚴格定義是用遞迴寫出來的 ...
→ xcycl       :寫 A^n = A ... A 只能算是非正式的說法
推 hellwize    :A^2可以寫成AA  A^3可以寫成AAA 但A^n=不能寫成A...A
→ wohtp       :兩個定義等價，哪有一個比一個正式的道理
→ hellwize    :這不僅僅是一種記號的規定而已  這是一種錯誤
→ wohtp       :錯在哪？
推 TassTW      :因為你需要先證明 associativity 才能說 A...A is
→ TassTW      :well-defined.
→ TassTW      :假設今天我看一個物件, (AA)A 不等於 A(AA)
→ TassTW      :那 A....A 就不知道是在說什麼東西
→ wohtp       :我們在講矩陣，沒有這個問題\
→ wohtp       :（而且沒有結合律的運算通常根本不會叫「乘法」）
推 TassTW      :李代數上的乘法表示你歧視他
推 lin6613     :最後一段 好像是Jacobson基礎代數書上的內容^^
→ wohtp       :李代數的乘法明明就有結合律。跟Lie bracket搞混了吧
推 TassTW      :李代數上的乘法就是 Lie bracket, 你以為的乘法應該
→ TassTW      :是 universal enveloping algebra 上的乘法
→ TassTW      :再者, 所有非結合代數上的乘法都表示你歧視他
→ sneak       : A^2可以寫成AA   https://daxiv.com
→ muxiv       : 李代數上的乘法表示你歧 https://moxox.com