[其他] 次方和的神奇數組?

[jurian0101 (Hysterisis)]

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有以下等式

 i   i   i    i    i    i     i   i    i    i    i    i
2 + 7 + 8 + 18 + 19 + 24  =  3 + 4 + 12 + 14 + 22 + 23

對 i = 1,2,3,4,5 次方時，等式成立



*附上來源以示尊重，不喜也不用點
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=614924785248125


回應不外乎「啊，多喜爹？」「沒用，有趣而已」「這有什麼用」「無聊」


我來解析一下秘密XD

同時，大家可以試著想，有沒有可能有兩組相異，各有n個自然數的數組，
恰好更上一層樓，滿足i=1~6

手邊沒工具暴搜，我不知道













= = = = = = = 防雷線 = = = = = = =









想到  根與係數關係式  是第一步



左邊／右邊的六個數的一到五次方和相等，代表以左六數與右六數為根的六次方程式

(x-2)(x-7)(x-8)(x-18)(x-19)(x-24)
和
(x-3)(x-4)(x-12)(x-14)(x-22)(x-23)


除了常數項相差某個自然數以外，所有係數相等。用Wolfram alpha驗證看看


x^6-78 x^5+2353 x^4-34476 x^3+252148 x^2-843648 x+919296
和
x^6-78 x^5+2353 x^4-34476 x^3+252148 x^2-843648 x+1020096



畫成函數圖形
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B%28x-2%29%28x-7%29%28x-8%29%28x-18%29%28x-19%29%28x-24%29%2C%28x-3%29%28x-4%29%28x-12%29%28x-14%29%28x-22%29%28x-23%29%7D%2C+%7Bx%2C0%2C25%7D%5D

短: http://goo.gl/rsK3rI

直觀意義是，有個六個根都是自然數的函數圖形，向上移動某個自然數單位，結果新的
六個根還是全是自然數。





只想到這裡只會繼續說「WOW，哪ㄟ按捏」是不夠的



觀察：其實這函數圖形根本是對稱，左右兩組數也是對於13對稱



所以，Step2 函數圖形不只可以上下平移，也能左右平移


{2, 7, 8, 18, 19, 24} ->  {-11, -6, -5, 5, 6, 11}

{3, 4, 12, 14, 22, 23} -> {-10, -9, -1, 1, 9, 10}



所以新數組的 1~5 次方和 還是會彼此相等

其實 因為先前觀察到的對稱性，

奇數次方和的相等顯然，因為是零!



於是剩下只要檢查 5^2 + 6^2 + 11^2 = 1^2 + 9^2 +10^2

              和 6^4 + 6^4 + 11^4 = 1^4 + 9^4 +10^4


所以原本「滿足五個式子的兩組六個數」其實是「滿足兩個式子的兩組三個數」的偽裝


到此，條件已經簡化得，感覺上已經可以開始暴力搜索了

是否有 a^2 + b^2 + c^2 = A^2 + B^2 + C^2
       a^4 + b^4 + c^4 = A^4 + B^4 + C^4
       a^6 + b^6 + c^6 = A^6 + B^6 + C^6 ?

若找不到則加 d 和 D 進去。


至此，先前問的問題「存不存在恰好i=1~6成立的兩組n個數」

只不過因為若n=7, 七次方程圖形沒法用對稱性（0明顯不能用，為什麼？）


我不知道答案是有或沒有(逃)，請高手補充 <(＿ ＿)>










= = = = = = = =頁末 = = = = = = =








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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.93.81
推 ntnusliver  :左右平移的第一組數字寫錯了~  用根與系數真是太神了
3Q, 沒驗算，知錯了
※ 編輯: jurian0101      來自: 218.164.93.81        (02/09 19:28)
推 cmrafsts    :第一個問題是沒有相異的
→ cmrafsts    :相當於x+y+z, x^2+y^2+z^2, x^3+y^3+z^3
→ cmrafsts    :與X+Y+Z, X^2+y^2+z^2, X^3+Y^3+Z^3都相等
→ cmrafsts    :這樣x,y,z, X,Y,Z是同一個三次方程的三個根
推 snowyfairy  :想請問一下除了常數項，其餘係數都相等要怎麼推出 @@
→ snowyfairy  :從根與係數我看不出來 Orz
推 LPH66       :根與係數關係:係數可表示為根的對稱多項式之線性組合
→ LPH66       :唔, 應該說就是基本對稱多項式本身;
→ LPH66       :然後所有多項式可表為基本對稱多項式(及其冪次)的
→ LPH66       :線性組合, 特別是 n 次方和也是
→ LPH66       :常數項會不一樣的原因是因為它多一次方
→ sneak       : 常數項會不一樣的原因是 https://muxiv.com
→ muxiv       : 係數可表示為根的對稱多 https://moxox.com