→ xcycl :inductive definition 也是電腦科學的基礎之一 ... 02/09 14:40
※ 編輯: recorriendo 來自: 205.175.97.136 (02/09 15:05)
→ wohtp :矩陣的次方 A^n 怎麼不是 AA...A？ 02/09 15:18
→ wohtp :這個定義跟遞迴式的定義完全等價啊 02/09 15:18
→ xcycl :矩陣次方的嚴格定義是用遞迴寫出來的 ... 02/09 15:37
→ xcycl :寫 A^n = A ... A 只能算是非正式的說法 02/09 15:37
推 hellwize :A^2可以寫成AA A^3可以寫成AAA 但A^n=不能寫成A...A 02/09 17:35
→ wohtp :兩個定義等價，哪有一個比一個正式的道理 02/09 17:35
→ hellwize :這不僅僅是一種記號的規定而已 這是一種錯誤 02/09 17:37
→ wohtp :錯在哪？ 02/09 17:38
推 TassTW :因為你需要先證明 associativity 才能說 A...A is 02/10 03:12
→ TassTW :well-defined. 02/10 03:12
→ TassTW :假設今天我看一個物件, (AA)A 不等於 A(AA) 02/10 03:13
→ TassTW :那 A....A 就不知道是在說什麼東西 02/10 03:13
→ wohtp :我們在講矩陣，沒有這個問題\ 02/10 03:57
→ wohtp :（而且沒有結合律的運算通常根本不會叫「乘法」） 02/10 04:01
問題出在於，A ... A 這樣的表示法，並沒有真正的定義。
首先標準的矩陣乘法是二元運算，我們只知道 A * A 什麼意思，
但是 A * A * A 並不清楚，它可以是 A * (A * A) 或是 (A * A) * A
當然我們知道 associativity 所以這兩種表示法都代表一樣的矩陣，
但我們仍然得選定一個表示法，例如說 A^3 = A * (A * A)。
接下來，A * ... * A 我們理應寫成
A * (A * (A * ... (A * I))...) --- (*)
那中間這串 ... 什麼意思呢？數學的語言是邏輯，得把 "..." 用邏輯語句寫清楚，
不然是「未定義」的，雖然我們知道什麼意思 : )
欲定義 A^n 代表給一個 方陣 A 跟自然數 n （不考慮一般的情況），
對應到另一個方陣 A'，也就是一個函數從
f : M(n, n) x N -> M(n, n)
其中 M(n, n) 代表固定某個 field 上所有 n x n 的方陣集合。
根據歸納法，我們可以用遞歸的形式寫自然數的函數：
f : (A, 0) = I
f : (A, (n+1)) = A * f(A, n)。
最後得到的定義 A^n 定義出來的是 (*) ，因為我們知道 associativity
可以推廣一般化，例如 n = 4 的時候以下這五個矩陣都一樣：
(A * A) * (A * A) = A * (A * (A * A)) = ((A * A) * A) * A) =
A * ((A * A) * A) = (A * (A * A)) * A
一樣用歸納法證明任一情況下不管怎麼寫都一樣。
所以我們可以濫用符號(by abuse of notation)，直接將 f(A, n) 記成 A ... A。
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◆ From: 122.117.32.172
※ 編輯: xcycl 來自: 122.117.32.172 (02/10 06:24)
推 alfadick : 02/10 12:17
推 suhorng :這麼一說, 想起代導課本也是先證過"隨便怎麼括弧都沒 02/10 16:55
→ suhorng :差"才這樣寫的 @@ 02/10 16:55
→ xcycl :其實這個看作是「函數合成」的次方就好了 f^n 02/10 17:36