※ 引述《jellyfishing (淡藍滴水母)》之銘言：
: (幫學妹代po)
: [國中] 四邊形內切圓性質
: 國中講義上寫著，一個四邊形ABCD，若AB+CD=BC+AD，則此四邊形有內切圓。
: 但我想了很久，不太知道該怎麼證明...
: 麻煩大家幫忙
做角B與角C的角平分線，交於P，做PE⊥AB於E、PF⊥BC於F、PG⊥CD於G、PH⊥AD於H
∵ BP=BP、∠PEB = ∠PFB = 90度、∠PBE = ∠PBF，所以△PEB全等△PFB
同理 △PFC全等△PGC。
因此 PE = PF = PG 、 EB = FB 、 FC = GC
而 AD + BC = AB + CD
AD + BC = AH + HD + BF + FC
AB + CD = AE + EB + DG + GC
∴ AH + HD = AE + DG (*)
現考慮AH跟AE的大小
假設AH < AE，由 AH^2 + HP^2 = AP^2 = AE^2 + EP^2 知 EP < HP
而EP = GP， ∴ GP < HP → 由 DH^2 + HP^2 = DP^2 = GP^2 + DG^2 可得 DG > DH
所以 DG + AE > DH + AH 與上面的(*)條件矛盾
同理，AH > AE 也會得到矛盾
因此有 AH = AE 、DH = DG
則同樣 △APE全等△APH ，所以 PE = PF = PG = PH
P為內切圓的圓心，PE為半徑
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◆ From: 124.11.128.7