※ 引述《s871443 (路邊小石頭)》之銘言：
: ln(n!)
: lim ——— = ?
: n→∞ n
: 1n(1)+...+ln(n)
: 可以直接寫成 ————————當n趨近無窮=0?
: n
^^^^^^^^^^^^^^^^寫成這樣沒錯
但是寫成這樣並不會讓他 "= 0"
: 不知道這樣對不對請板上大大指教
(I)
想到黎曼和 (雖然他並不全然是)
1 1 n
-1 = ∫ln(x)dx = lim ---Σln(k/n)
0 n→∞ n 1
n
= lim (Σln(k)/n - ln n)
n→∞ 1
因此原式發散(至∞)
(II)
假設 n 偶數(奇數時就 -1 )
n! = 1 * 2 * ... * n/2 * (n/2 + 1) * ... * n
> (n/2 + 1) * ... * n
> (n/2) * ... * (n/2)
= (n/2)^(n/2)
因此原式 > ln( (n/2)^(n/2) )/n = 1/2 ln(n/2) → ∞
p.s. lg(n!) = Σlg(k) = Θ(n lg n) 這個在證比較式排序法
的複雜度下界時會用到
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.166.45.235