Re: [微積] 計財103

[LuisSantos (但願真的能夠實現願望)]

※ 引述《lyndonxxx (lyndon)》之銘言：
: http://ppt.cc/gnAa
: 今天的考題
: 請問六和七該怎麼想



6. Show that if a > -1 and b > a+1 , then the following integral is convergent

   ∞   x^a
  ∫  --------- dx
   0   1 + x^b


          ∞    x^a
proof:   ∫  --------- dx
          0   1 + x^b


          1    x^a          ∞    x^a
      =  ∫ --------- dx + ∫  --------- dx
          0  1 + x^b        1   1 + x^b

           x^a        x^a        1
      ∵ --------- < ----- = ---------
          1 + x^b     x^b     x^(b-a)

                ∞      1
          and  ∫  --------- dx
                1   x^(b-a)


                     R     1
             = lim  ∫ --------- dx
               R→∞ 1  x^(b-a)

                        -1          1      |R
             = lim   (-------)(-----------)|   (∵b>a+1 => b-a-1 >0)
               R→∞   b-a-1    x^(b-a-1)  |1

                       -1          1             1
             = lim  (-------)(-----------) + -----------
               R→∞  b-a-1    R^(b-a-1)      b - a - 1

                    1
             = -----------  is convergent
                b - a - 1

              ∞    x^a
          ∴ ∫  --------- dx is convergent by comparison test
              1   1 + x^b

                   1    x^a
      Obviously , ∫ --------- dx is convergent
                   0  1 + x^b

               ∞    x^a
      Hence , ∫  --------- dx is convergent
               0   1 + x^b




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◆ From: 114.24.201.41
→ yuyol       :這個0到1的積分一點也不顯然喔.
推 cmrafsts    :顯然阿，x^a的積分收斂去比較
→ yuyol       :但考試時還是要寫出細節,不然可能會被扣分.
→ keith291    :0到1的積分不顯然  注意到-1<a<0時 x=0處為瑕點
→ keith291    :需好好處理    另外1~∞部分用p積分判斷即可
→ keith291    :然後這題是stewart的微積分課本  瑕積分那節的習題