[微積] [線代] 103清大統研數學考題分享&討論

[anovachen ( )]

(編號非考卷上的題目編號)

清大統研不公開考古題，所以我想憑記憶分享這些題目，供未來的考生練習：

線性代數部分:
(1)計算題:
印象中有Cauchy-Schwarz不等式的證明、還要證明1/sqrt(n) *
(x1+...+xn)<=(x1^2+...Xn^2)^(1/2)<=(x1+...xn)
證明Extended Cauchy-Schwarz inequality: b: px1, d:px1 two vectors,
B: pxp 正定矩陣  (b'd)^2<=(b'Bb)(d'B^-1 d)
證明B: pxp 正定矩陣，d: px1 vector, 對任意(arbitrary)非零向量x: px1:
max_{x \neq 0} \frac{(x'd)^2}{x'Bx}=d'B^{-1}d
證明B: pxp 正定矩陣，最大的eigenvalue=\lambda_{max} 則
max_{x \neq 0} \frac{x'Bx}{x'x}=\lambda_{max}

(2)簡答題有二次式於多重積分的應用(∫∫...∫ exp(-Q1(x))dx1dx2...dxn的那種題型
，以及其變化題∫∫...∫ Q2(x)exp(-Q(x))dx1dx2...dxn)
(3)I: mxm 單位矩陣，求det (aI bI \\ bI dI )  (\\代表換行)
(4)另外一題算6x6方陣det的，不曉得是要硬幹還是有特殊技巧= = (數字太多也記不完)
(5)A=[4 2 \\ 1 3], x=[3 \\ 2] lim(m->\infty) (x'A^mx)=?
(6)有一題懷疑記錯題目: A:nxn real symmetric 證明sum(i=1 to n) aii^2 = sum(i=1
to n) lambda_i ^2
因為後來找了幾個對稱矩陣實際算過發現好像不成立，除非是對角矩陣(aij=0, for
every i neq j)
不過91年清大的考古題是這樣的:A=A^t, sum(i=1~n)sum(j=1~n)aij^2=A的eigenvalue的
平方和。
忘記題目的A到底是real symmetric還是diagonal了...有人記得嗎QQ

微積分部分:
(1)高12公尺 直徑12公尺的圓錐型容器(倒過來放的，頂點朝下)以每分鐘8立方公尺的速
度灌水，
問當水位達到4公尺高時，水位上升速度是多少?(灌水速度可能有記錯，不過題目大致上
是這樣問的)
(2) \int_0^1 (e^(t^2))/(e^(t^2)+e^((1-t)^2)) dt
(3)另外一題分式積分，好像是\int_1^2 (2x^2+x+1)/(x^3+x^2+x+1) dx
(4)  \lim_{(x,y,z)->(0,0,0)} (x^3+y^3+z^3)^{(3x^3*y^3*z^3)}
(5)微積分計算題:證明\sum_(n=1)^\infty 1/n發散，若用電腦的浮點數表示法(float
point)，
將第一個partial sum定為零，再一項一項得累加上去，所得到的值是finite的，為什麼
？其upper bound是多少？
(6)另一題計算題似乎是f(x): R→R 滿足f(x)-f(y)<=c|x-y|, 0<c<1,
(這題可能有記錯，畢竟不太會寫所以就跳過，沒有很仔細的思考...) 證明存在x0使得
f(x0)=x0

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Cauchy-Schwarz那題的解法:
1/sqrt(n) * (x1+...+xn)<=(x1^2+...Xn^2)^(1/2)<=(x1+...xn)
先證明左邊:(使用Jensen不等式)
原式等同(x1+...xn)^2 / n <=(x1^2+...Xn^2)
定義f(x)=x^2為凸函數，則f(sum(xi))<=sum(f(xi))
(x1+...xn)^2 <= (x1^2+...+xn^2)
→(x1+....xn)^2 / n <=(x1^2+...+xn^2)
故1/sqrt(n) * (x1+...+xn)<=(x1^2+...Xn^2)^(1/2)
接下來證右邊:(使用Cauchy不等式)
由柯西不等式可知(x1^2+...Xn^2)^2<=(x1+..xn)^2
→(x1^2+...xn^2)^(1/2)<=(x1^2+...xn^2)<=(x1+...xn)
至於extended Cauchy-Schwarz不等式和其他幾題之證明:可參考Richard A. Johnson et
al. pp.78-81
這一整個不等式題組簡直是抄自該教科書的=口=
延伸閱讀:
《不等式之基本解題方法》
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d312/31204.pdf
Applied Multivariate Statistical Analysis 6th edition by Richard A. Johnson
and Dean W. Wichern pp.78-81
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至於那題很跳tone的sum(1/n)的題目...
(1)用integral test證明\sum_{n=1}^\infty 1/n發散
(2)電腦浮點數表示法是把數字存成類似這種格式,e.g., 314E-2=314*10^(-2)=3.14
假設電腦只能存到小數點後第二位，這意味著當(1/n)小於1/100時就等於零，定義
{a_n}=100E-2,50E-2,33E-2,25E-2,20E-2,....,1E-2,1E-2,0,0,....0,...。sum(a_n)收
斂。<由lim(n->\infty) an^(1/n)=0<1可知sum(a_n)收斂>
而upper bound，我沒寫出來>< 不過我猜應該是\sum_{n=1}^{10^d} 1/n，其中d等於小數
位數。題目未說明要求最小上界，所以...這樣寫應該也算是個上界吧...??
回家後用R實作看看...不過運算很耗時，跑不出結果XDD
s=0
n=1
repeat{
s=s+(1/n)
n=n+1
if (is.infinite(n)) {break}
}
print(s)

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◆ From: 111.255.23.152
推 jacky7987   :微積分的6是fixed point Thm
→ jacky7987   :Apostol裡面應該是contraction mapping Thm
感謝分享!!

請問det(aI bI \\ bI dI), I:mxm單位矩陣
答案是(ad-b^2)^m嗎??
※ 編輯: anovachen       來自: 111.255.23.152       (02/17 09:27)
推 James1114   :Wade沒有contraction mapping Thm...哭哭
※ 編輯: anovachen       來自: 111.255.23.152       (02/17 10:16)