[中學] 期望值問題

[armopen (八字-風水-姓名學)]

一箱子中有三顆紅球和二顆白球，今從箱中取出三球，試求取出白球個數

的期望值、變異數.

答案： 6/5 個，9/25 個

這個題目用 [一般解法] 我已經了解，想知道計算變異數
為何不能想成先計算取一球的變異數，再換成三球的呢？

也就是

(令 X 表示取一球取到的白球個數

 因為在期望值有公式 E(3X) = 3E(X), 那麼如果想成

 Var(3X) = E(9X^2) - E(3X)^2 = 9[E(X^2) - E(X)^2]

錯在哪裡？)

[一般解法]

令 Y 表示取三球取到的白球個數，其機率分布如下：

白球個數：        0                  1                  2
    機率： C(3,2)/C(5,3)  C(2,1)C(3,2)/C(5,3)  C(2,2)C(3,1)/C(5,3)

E(Y) = 所有情形的 (白球個數)*(對應機率) 加總的結果 = 6/5
Var(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = 9/25

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◆ From: 114.37.140.41
→ yhliu       :取一球的白球數是 X, 取3球的白球數並不是 3X, 而是
→ yhliu       :Y = X1+X2+X3, 其中 X1, X2, X3 都和 X 有相同特性,
→ yhliu       :但它們相互不是獨立的. 如果你計笠它們的共變異數,
→ yhliu       :例如 Cov(X1,X2) = E[X1X2]-E[X1]E[X2], 再代入
→ yhliu       :Var(Y) = ΣVar(Xi)+2ΣΣ_{i<j}Cov(Xi,Xj), 也可以
→ yhliu       :得到正確答案.