Re: [微積] 幾題題目請教(台大微積分)

[willydp (willyliu)]

※ 引述《anovachen (　)》之銘言：
: 2.
: X_{n+1}=1/[1+X_n]，x_0>0，求
: lim X_n = ?
: n->∞

用矩陣:

把它看成Möbius transformation
          [0 1]
X_{n+1} = [1 1] X_n

那麼        n
       [0 1]        [F_{n-1} F_n    ]
X_n =  [1 1]  X_0 = [F_n     F_{n+1}] X_0

其中F_n是第n項Fibonacci number

所以X_n = (F_{n-1}X_0+F_n) / (F_nX_0 + F_{n+1})

令φ= (1+√5)/2,

那麼當n -> ∞時, 根據F_n的公式,
F_n     / φ^n -> 1/√5
F_{n-1} / φ^n -> φ^{-1}/√5
F_{n+1} / φ^n -> φ/√5

因此X_n = [(F_{n-1}/φ^n)X_0 + F_n/φ^n] / [(F_n/φ^n)X_0 + F_{n+1}/φ^n]
會趨近    [(φ^{-1}/√5)X_0 + 1/√5] / [(1/√5)X_0 + φ/√5]
        = (X_0 + φ) / (φX_0 + φ^2) = 1/φ = (-1+√5)/2

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※ 編輯: willydp         來自: 1.160.223.145        (03/02 21:24)
※ 編輯: willydp         來自: 1.160.223.145        (03/03 06:35)
推 anovachen   :謝謝!!