[微積] 有關定積分確切表達式

[xavier13540 (柊 四千)]

最近寫到一個題目，它要我證明

          k
 1 (x-1) x            k+2
∫ ──── dx = log ── , 其中 k＞-1
 0  log(x)            k+1
                                k
                       1 (x-1) x
我的作法是：令 F(k) = ∫ ──── dx，則有
                       0  log(x)
                   k
         1 (x-1) (x log(x))
F'(k) = ∫ ──────── dx
         0      log(x)

         1   k+1   k
      = ∫ (x   - x ) dx
         0

          1      1
      = ── - ──
         k+2    k+1

            k+2
F(k) = log ── + C
            k+1

我遇到的問題是，要怎麼把積分常數消掉。因為我連 F(0) 也算不出來，請問還有什麼方

法算出 C = 0？或是，這個定積分有什麼其他方法求出來？

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第01話 似乎在課堂上聽過的樣子          第02話 那真是太令人絕望了
第03話 已經沒什麼好期望了              第04話 被當、21都是存在的
第05話 怎麼可能會all pass              第06話 這考卷絕對有問題啊
第07話 你能面對真正的分數嗎            第08話 我，真是個笨蛋
第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的    第10話 再也不依靠考古題
第11話 最後留下的補考                  第12話 我最愛的學分

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◆ From: 1.200.171.81
推 tandem      :用你的算法去算 ∫(x^k-1)/log(x) dx  on (0,1)
→ xavier13540 :感謝樓上的解答
→ tandem      :                  x^k -1
→ tandem      :不過我不太清楚微分什麼時候可以和積分交換次序, 所
→ tandem      :以不知道這樣算夠不夠嚴謹
→ Vulpix      :想算C大概只能考慮k→∞吧