→ LPH66 :唔,標題是[中學]..不過都提夾擠了用點微積分應該沒差 04/27 10:14
→ LPH66 :如果原 PO 要非微積分解法就再說吧 04/27 10:15
推 shoeming :嗯 因為這是高中生問的題目 這樣應該沒超出範圍 04/27 12:27
※ 引述《shoeming (修修明)》之銘言：
: (√1+√2+√3+...+√n)(1√1+2√2+3√3+...n√n)
: lim ---------------------------------------------
: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3
: 想用夾擠夾不出來
: 求解
n-1 n n
∫ √x dx ≦ Σ √i ≦ ∫ √x dx
0 i=1 1
左邊是黎曼上和, 右邊是黎曼下和; 把積分算出來再做個估計得
n
(2/3)(n-1)√(n-1) ≦ Σ √i ≦ (2/3)(n√n - 1) ≦ (2/3)n√n
i=1
同理有
n
(2/5)(n-1)^2√(n-1) ≦ Σ i√i ≦ (2/5)(n^2√n - 1) ≦ (2/5)n^2√n
i=1
相乘得
(4/15)(n-1)^4 ≦ 分子 ≦ (4/15)n^4
除以分母 (n(n+1)/2)^2 之後用夾擠即可知極限為 (4/15)/(1/4) = 16/15
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