Re: [中學] 極限

[XII (Mathkid)]

※ 引述《LPH66 (1597463007)》之銘言：
: ※ 引述《shoeming (修修明)》之銘言：
: :      (√1+√2+√3+...+√n)(1√1+2√2+3√3+...n√n)
: : lim  ---------------------------------------------
: :               1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3
: : 想用夾擠夾不出來
: : 求解
:  n-1            n         n
: ∫   √x dx ≦ Σ √i ≦ ∫ √x dx
:  0             i=1        1
: 左邊是黎曼上和, 右邊是黎曼下和; 把積分算出來再做個估計得
:                       n
: (2/3)(n-1)√(n-1) ≦ Σ  √i ≦ (2/3)(n√n - 1) ≦ (2/3)n√n
:                      i=1
: 同理有
:                         n
: (2/5)(n-1)^2√(n-1) ≦ Σ  i√i ≦ (2/5)(n^2√n - 1) ≦ (2/5)n^2√n
:                        i=1
: 相乘得
: (4/15)(n-1)^4 ≦ 分子 ≦ (4/15)n^4
: 除以分母 (n(n+1)/2)^2 之後用夾擠即可知極限為 (4/15)/(1/4) = 16/15

如果可以用積分的話,直接積就好囉!

      ∫x^{1/2}dx*∫x^{3/2}dx
原 = ------------------------- (∫=∫_{0~1})
              ∫x^3dx

      (2/3)(2/5)     16
   = ------------ = ----
        (1/4)        15

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.50.24
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※ 編輯: XII (111.250.50.24), 04/27/2014 11:29:05
推 LPH66       :不能直接積吧...原式是求和的極限耶 @@
→ LPH66       :而且這題的出法使你不能上下同除 n 的某次方之後
→ LPH66       :再換成 0~1 的積分 (如果可以換的話)
推 a016258     :為什麼@@?  上下同除n^4 分配一下
推 shingai     :能這樣做只能說題目湊得剛好
→ yhliu       :(1^p+2^p+...+n^p)/n^{1+p} → ∫_[0,1] x^p dp