Re: [中學] 一題幾何

[LPH66 (1597463007)]

※ 引述《oxs77 (安)》之銘言：
: 已知一點P到正三角形ABC的三高距離分別為1,2,3
: 求PA^2:PB^2:PC^2
http://w.csie.org/~b94102/math/Math67.png

以 PC 為例計算, PA PB 可類推

H_A H_B 是 P 到兩邊的高

P-Q_A P-Q_B 則跟三角形的邊平行

於是由 P-H_A = 1, P-H_B = 2 及圖中的 30-60-90 三角形可算得圖中標記各長度

而 P-Q_A-C-Q_B 是平行四邊形  所以 C-Q_A = P-Q_B = 4/√3

這時由直角三角形 P-C-H_A 即可求得 PC^2 = 28/3

(從 P-C-H_B 算雖然數字不同但求得的 PC^2 也一樣)

類似可得 PB^2 = 52/3  PA^2 = 76/3

所求的比即為 76/3 : 52/3 : 28/3 = 19:13:7

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順帶一提, 全部計算出來後可以輕易得到這個正三角形邊長 4√3

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LPH  [acronym]
= Let Program Heal us
                        -- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.

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※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 05/03/2014 23:59:02
→ Honor1984   :你這樣算 有點像一點P到正三角形ABC的三邊距離
→ Honor1984   :我覺得原PO他的問題沒有出得很清楚 另一種是指P到垂
→ Honor1984   :線(三高)的距離為1, 2, 3
→ LPH66       :那樣的話就會是 XII 上篇推文說的 P 到中心相對位置
→ LPH66       :不變而三角形可放大了, 我想這應該不是原題意...
→ Honor1984   :嗯
(順便回給原 PO 看)

http://w.csie.org/~b94102/math/Math67b.png

那種狀況會變成這種圖, 可以看到確實三角形可放大

不過是說也是因為這題給 1, 2, 3 才會碰巧碰上這狀況...

(這種狀況裡最長的那個距離必然等於兩個短的矩離和, 此例中即 3 = 1 + 2

 不是這樣的話組不成這種圖)

※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 05/04/2014 01:39:44
推 oxs77       :請問如果是第二種情況  有辦法求PAPBPC的比嗎?
→ oxs77       :還是會跟著三角形放大縮小改變?
→ oxs77       :抱歉題意不清  下次會再跟學生問清楚
→ Honor1984   :你可以自己做看看 一樣會用到上面的圖做計算
→ Honor1984   :中心到P點距離sqrt(3)+1/sqrt(3)
推 balista     :我想只要算比值的話, 可以更簡單些.
→ balista     :C H_A P H_B 共圓, PA 為直徑, 而 角 H_A P H_B =120
→ balista     :所以 PA^2 = 4/3 線段 HA_HB ^2, 後者用餘弦定理可得
(刪除過去的廣告推文)
※ 編輯: LPH66 (123.194.180.251 臺灣), 06/16/2022 20:49:26