→ amy29585028 :前幾篇文章大家討論的術語都好高深，有白話一點的說 05/09 23:12
→ amy29585028 :法嗎... 05/09 23:12
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恕刪部分原文
我舉一個高中看得懂的例子，來類比原問題
考慮一個 sequence a = (-1, 1, -1, 1, -1,...)
a(1) = -1
a(2) = 1
a(3) = -1
讓該數列為 1, -1 跳動
很自然的，我們會寫成 a(n) = (-1)^n for n 屬於 N+
若有一天，你遇到一個問題，發現 貌似 要算出 a(1/2)
但 a(n) 的 index 只定義在自然數上，怎麼辦?
這時有人想出一個新的函數定義:
A(x) := cos(πx)
這個函數很神奇的，不僅可以滿足原題意
並且 A(n) = a(n) for all n in N+
因此我們就把 a(n) , 用 A(n) 重複定義
所以 a(1/2) := A(1/2) = cos(π/2) = 0
但有些人就是很皮
偏偏把 x=n=1/2 帶入 a(n) 的原本定義
得到以下結論:
(-1)^(1/2) = 0
=> i = 0
Wow~ That's amazing!
然後開始想盡各種似是而非的推論，來得證 i = 0
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這就是為何會看到各種 1+2+... = -1/12 的荒謬論證
有興趣可以找一下複變函數相關知識
多少會提到 zeta function 是如何被推廣
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推 LPH66 :關鍵字是 Analytic Continuation (解析延拓) 05/10 00:52
→ LPH66 :其實這種延拓有更好的例子就是階乘跟Γ函數的關係 05/10 00:53
→ LPH66 :Γ函數就是階乘函數的解析延拓 05/10 00:54
→ LPH66 :但如果從 Γ(3/2)=√π/2 硬說 0.5!=√π 那就不對了 05/10 00:56
→ LPH66 : 呃, 這個↑忘了寫 /2... 05/10 00:58
→ musicbox810 :(0.5)!好像常看到有人這樣用 05/10 01:04
推 NCWW :很棒的解釋! 完全沒用到中學生難以理解的高等數學 05/10 08:48
→ amy29585028 :感謝詳細解釋，在下略懂略懂了 05/10 18:44
→ doom8199 :1F 的例子並沒有點到我說的關鍵。 只要 n! 用 Γ(n) 05/11 01:34
→ doom8199 :重新定義，書寫 (0.5)! 亦無不可; 但若想套入 05/11 01:35
→ doom8199 :n! 在自然數上的定義，會遇到瓶頸 05/11 01:36
→ doom8199 :因此我們不會對 (0.5)! 有 "其它錯誤的解讀" 05/11 01:36
推 LPH66 :在我看來是一樣的...都是一連串的運算然後"沒有終點" 05/11 03:22
→ LPH66 :只不過階乘的例子裡這"終點"看得見, 級數的狀況裡 05/11 03:22
→ LPH66 :這個"終點"看不見而已 05/11 03:23
→ LPH66 :而這"看得見"終點卻又是源自於 0 的不可除性 05/11 03:23
→ LPH66 :因此其實某種意味上來說我會覺得兩邊是沒有差別的... 05/11 03:24
→ LPH66 :可能我例子舉的不好, 但Γ函數的性質 Γ(x+1)=xΓ(x) 05/11 03:26
→ LPH66 :是對任何實數都成立的, 這就給了"硬套"的可能空間了 05/11 03:27
→ LPH66 :不過確實, 以你這種方式解釋解析延拓的概念比較易懂 05/11 03:28
→ LPH66 :階乘的例子雖然背後的道理一樣但比較不容易懂 05/11 03:30
→ LPH66 :話說回來, √π的例子要唬爛也不是沒材料 05/11 03:47
→ LPH66 :有個知名的π公式叫 Wallis product 的可以拿來用 05/11 03:47
1 - x + x^2 - x^3 + ... = 1/(1+x) := f(x)
=> 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 := f(1)
這個錯誤跟有沒有用 extension 一點關係也沒有
會有錯誤，只是因為 user 搞不清楚 condition
搞不清楚的 user, 在使用 (0.5)! 這個表達式時
就會因為 n! = 1*2*...*n 知難而退了
不會再出現各種誤人子弟的文章
但跟 (0.5)! 用甚麼方法重複定義我認為是兩回事
我前面刻意舉的例子，只是想讓大家可以體會 zeta(-1) = -1/12 是如何被求得
但並非在強調 因為 zeta(-1) = -1/12 而導致 1+2+.. = -1/12
或許我該舉無窮級數這個例子 XD
※ 編輯: doom8199 (210.61.82.125), 05/12/2014 19:19:20