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作者xavier13540 (柊 四千)
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標題Re: [中學] 矛盾數學式
時間Tue May 13 19:46:50 2014
_ 這是我在八卦版回過的文章，希望能讓那些總認為 0.9 = 1 不成立的人接受這個等式。 ※ [本文轉錄自 Gossiping 看板 #1JQdH3un ] 作者: xavier13540 (柊 四千) 看板: Gossiping 標題: Re: [問卦] 有沒有0.999…=1的八卦 時間: Thu May 8 01:58:08 2014 ※ 引述《cmrafsts (喵喵)》之銘言： : ※ 引述《yuan1205 (rodriguez)》之銘言： : : 小弟鍵盤123來報到 : : 當沒有極限這個概念時 : : 印象中 高中老師是這樣教的 : : 如果 1=0.999循環 : : 那就表示　｜1-0.99999...｜=0 : : 絕對值表示距離的概念 : : |1-0.9|=0.1 離原點距離為0.1 : : |1-0.99|=0.01 離原點距離為0.01 : : ....... : : ....... : : ........依此類推 : : |1-0.99999....|=0.000000.......1 : : 因為 不能很武斷的說 那個0.0000.................1在哪個位子 : : 如果你說他在0.00000000001的話 : : 那麼五樓就會說他在0.000000000000000000000000000001 : : 不能很明確的指出 他與原點之間的距離是多少 : : 所以 必須認定他與原點距離之間為0 : : 如果要反駁上面那句話 就要很明確指出 那個距離點 在哪裡.. : : 於是...1=0.999999...... : : 不負責任解答 : : ... : 在數學中當我們用任何符號時都必須清楚的知道它的意義。 : 循環小數粗淺的說就是「一樣的數字寫無窮項」 : 實際上不能做到寫無窮項這件事，但是在實數上可以做到取極限 : 當我們宣稱「寫無窮項」的時候，實際上是寫出一個數列，求其極限 : 以這篇為範例，就是{0.9,0.99,0.999,...}的極限 : _ : 0.9 = lim 1-10^(-n) = 1 : n->infinity _ 這位已經講出了 0.9 的意思，這裡我獻醜一下，再講得更清楚一點。 ___ 首先，我們先定義一個循環小數所代表的值 。以 0.7122 為例，我們定義這個循環小數為 0.7 + 0.0122 + 0.0000122 + 0.0000000122 + ... ﹌ ﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌ 非循環部分 循環部分 注意循環部分是由無窮多個數相加而得，我們定義無窮多個數相加的結果是 a + a + a + ... = lim ( a + a + a + ... + a ) 1 2 3 n→∞ 1 2 3 n 如果我令數列 a 前 n 項的和是 s ，就可以把這個結果寫成 lim s 。 n n→∞ n 那麼，什麼是 lim s 呢？或者是，當我們說 lim s = L 時，代表的是什麼意思？ n→∞ n n→∞ n 一個簡單的講法是：如果 n 夠大，s 就會夠靠近 L。問題是什麼是夠靠近？我們的定義 n 是，不管你希望 s 多靠近 L，我總是可以找到某一項 s ，使得 s , s , s , ... n N N+1 N+2 N+3 都滿足你的要求。或者說，對於你給出的任何誤差ε(＞0)，我都可以找到 N，使得 s 以 N 後的任何一項跟 L 的差都不超過ε。 _ _ 我接下來要講為什麼 0.9 = 1。根據剛剛寫出來的定義，0.9 就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... n 所以 s = 0.999...9 = 1 - 0.1 n ╰──╯ n 個 _ n 我們之所以會說 0.9 = 1，是因為 s 跟 1 的差是 0.1 。如果你希望誤差在 0.0426 以 n 內，我只要挑 N = 1，就可以達成這個要求，因為 0.01, 0.001, 0.0001, ... 通通都小 -12 於 0.0426。如果你希望誤差在 8.85 ×10 以內，我只要挑 N = 11，就可以達成這個要 -12 -13 -12 求，因為 10 , 10 , ... 通通都小於 8.85 ×10 。所以，儘管 s 永遠到達不了 n _ 1，還是可以寫出 lim s = 1，也就是 0.9 = 1。 n→∞ n _ 希望我這篇可以幫助那些糾結於 0.999...9 永遠不等於 1 的人，理解為什麼 0.9 = 1。 -- 第01話 似乎在課堂上聽過的樣子 第02話 那真是太令人絕望了 第03話 已經沒什麼好期望了 第04話 被當、21都是存在的 第05話 怎麼可能會all pass 第06話 這考卷絕對有問題啊 第07話 你能面對真正的分數嗎 第08話 我，真是個笨蛋 第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的 第10話 再也不依靠考古題 第11話 最後留下的補考 第12話 我最愛的學分 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.196.111 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1399485507.A.E31.html
→ wonder007:以下開放dos崩潰 05/08 02:01
→ dnek:看不懂啦，我寧可繼續我的乘以十證明法lol 05/08 02:02
請問你是哪裡看不懂？我覺得我講得很清楚啊QQ。 希望你不是只是懶得看而已。
推 heavensun:112數學教授 05/08 02:02
我只是個大一生。 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:04:53
噓 jimmily:以下開放dos用馬英九證明法 05/08 02:03
推 dostey:有趣!問題是0.99..終究還是沒辦法走到1,只能在條件下達成 05/08 02:03
→ vaio5566:不要在PTT寫數學式子啦 有夠難看的 05/08 02:04
→ dostey:樓上幹嘛噓噓呢: 05/08 02:04
_ 補充一下，0.9 就是 1，不是什麼「趨近 1」。 _ 應該說，因為 s 趨近 1，所以 0.9 = 1。 n ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:08:45
→ wonder007:講不聽的啦，這0.99..梗玩了好幾年了總是有一群感覺派 05/08 02:09
推 hiphopphysic:如果有1兆個9 就不等1 但有無限多9 定義不出與1差別 05/08 02:10
推 dnek:呃好吧大致上能懂，可是我自己寫不出來 05/08 02:10
推 dostey:所以元po指的是在Sn趨近1時(條件下), 0.9 = 1? 05/08 02:10
不是，這是循環小數的定義，不是「在...的情況下」。 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:11:40
→ dostey: 0.99..=1 05/08 02:11
→ el4e8d:我想問一下 覺得0.999...不是 1的人 05/08 02:11
→ el4e8d:你覺得0.9+0.09+0.009+...會是多少? 05/08 02:11
→ hiphopphysic:一兆位數還是一千兆位數算無限大? 無限大不能定義 05/08 02:12
→ firejox:應該是說 Sn 會趨近於 0.99... 又 Sn趨近於1 所以會等於 05/08 02:12
→ el4e8d:我無窮等比級數 公比為0.1 首項0.9 05/08 02:12
→ wonder007:wiki上句話解析了這些人的想法 05/08 02:12
→ el4e8d:覺得不是1的 你自己算一下 此無窮級數的答案 05/08 02:12
→ wonder007:我們當中的低級靈長類動物仍然在抗拒，說：0.999… 05/08 02:12
→ wonder007:其實不是表示一個數，而是表示一個過程。我們必須把那 05/08 02:13
→ hiphopphysic:因為現在位數無窮多 不能定義與1的差異 就是沒差異=0 05/08 02:13
→ wonder007:個過程停止下來，來尋找那個數，這樣0.999… = 1的等式 05/08 02:13
→ dostey:循環小數的定義用"趨近"(在Sn趨近1時),是否可說不是真等於 05/08 02:13
_ s 永遠不會等於 1，但是我們是用 s 趨近的值來定義 0.9。 n n _ 注意我們的定義中，0.9 根本不需要在 0.9, 0.99, 0.999, ... 之中。
→ wonder007:便土崩瓦解了 05/08 02:13
→ el4e8d:dostey 你自己算一下 此無窮等比級數的答案 05/08 02:14
※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:19:17
→ el4e8d:0.9+0.09+0.009+...=1 05/08 02:14
推 dostey:e14e8d你是只在無窮時(沒辦法明確指出數位個數),所以 05/08 02:16
→ dostey:0.9+0.09+0.009+...=1? 05/08 02:16
→ el4e8d:你該不會忘了 無窮等比級數的和怎麼算了吧? 05/08 02:17
推 hiphopphysic:趨近的定義還是在比大小 但無窮靠近 是比不出更小的 05/08 02:17
→ el4e8d:0.999999...=0.9+0.09+0.009+0.0009+...=1 05/08 02:17
→ dostey:以上看來,0.99...=1 確實是成立的,在人為定義下! 05/08 02:19
※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:20:48
推 hiphopphysic:dostey大我認同 人為無法定義無窮多位 因此無法區別 05/08 02:20
→ el4e8d:挖哩咧 代數、高微 等等都各有方法證出等於1 你自己去翻吧 05/08 02:21
※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:21:21
→ xavier13540:hiphopphysic大 無窮多位就是用類似這樣的手法定義的 05/08 02:23
推 antmonster:辛苦你打字了 05/08 02:24
→ wonder007:整個數學系統原本就都是人為定義 不要好像很委屈一樣 05/08 02:25
→ dostey:看來112筆我們哪年代的112還強歐!元po該不會是哲學系的吧? 05/08 02:25
我是醫學系的，只是我想雙主修數學系。
→ firejox:無窮的情況下會跑出很多很神奇的事情了... 05/08 02:26
這裡講一個無窮多會壞掉的事情。 如果有學過微積分，應該就會知道這件事情： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - + - - - + - - - + - - - + - - ─ + ─ - ─ + ... = ln 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如果我們把這個式子除以 2，就會得到 1 1 1 1 1 1 1 - - - + - - - + ─ - ─ + ... = - ln 2 2 4 6 8 10 12 2 我故意排列整齊，這樣看起來比較清楚。把兩個式子相加，就可以得到 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 + - - - + - + - - - + - + ─ - - + ... = - ln 2 3 2 5 7 4 9 11 6 2 我們可以發現，第三個式子，根本只是把第一個式子中的每一項重新排列，但是和居然 是不一樣的！這件事告訴我們，把無窮多個數相加時，加法交換律是可能會壞掉的！ ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:38:49
→ el4e8d:某d 光這樣你就無法接受 那高微課一堆證明你怎受得了? 05/08 02:27
推 hiphopphysic:應該說沒辦法定義差距小到什麼程度 定義差距就沒意義 05/08 02:27
→ el4e8d:我還記得好幾年前高微教授特地用了幾種證法證這個 05/08 02:28
→ el4e8d:要數學系的別出去丟臉 誤導人家 回憶一瞬間湧上來了 05/08 02:28
推 dostey:哎呀el4e8d,你是再找我嗎? 05/08 02:29
→ hiphopphysic:若有1兆個9 可以說第1兆位差1 但有無窮多9就不能定義 05/08 02:29
推 jinnit53362:還是覺得用乘10來證明最直觀 05/08 02:30
→ waneblade:真的想挑戰這個觀點的話還是用數學語言最沒有爭議 05/08 02:31
→ jinnit53362:不過這題目 用電腦程式來跑就破功啦 所以沒啥好爭論的 05/08 02:31
→ hiphopphysic:在無窮位數的地方差1 數學不能定義無窮位 所以就沒差 05/08 02:32
推 HuangJC:一堆文字的證明法，好熟悉；那就這個正解了 05/08 02:33
→ HuangJC:數學的證明，最底層的是很多文字說明的 05/08 02:34
→ HuangJC:是'計算'才有簡單算式；證明，本身講解邏輯，文字很多 05/08 02:34
※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 03:00:52
推 breeze4103:蠻清楚的 05/08 03:02
推 funk6478:用無窮等比級數的概念去做也是一條路 05/08 03:10
推 HuangJC:無窮等比級數是'計算'方法，不是證明... 05/08 03:31
→ HuangJC:這麼說吧， y=f(x) 這個函式，當 x-> 5 時， y->10 05/08 03:32
→ HuangJC:那麼 x=5 時，y 一定等於 10 嗎？ 那可不一定 05/08 03:33
推 kinomon:乘以十的證法要先證明S=0.99...存在喔。無窮發展有可能發 05/08 03:33
→ kinomon:散掉 05/08 03:33
→ HuangJC:數學上就是可以討論出左趨近，右趨近，以及當下那一點 05/08 03:34
→ kinomon:不存在的東西除以9根本沒有意義 05/08 03:34
→ HuangJC:因此， x->5 如果很好計算，那就是個好的算法；但不是證明 05/08 03:35
→ HuangJC:要證明 x->5 和 x=5 時的 y值是相同的，那才可以引用 05/08 03:36
→ HuangJC:而這個證明，就是一串文字了；常在講解連續及可微 05/08 03:36
→ HuangJC:這些矛盾其實可以圖形化，會很好理解 05/08 03:37
推 kinomon:h大，在我的理解中無窮級數和的證明是可以的。不過我只停 05/08 03:37
→ kinomon:留在高中程度就是XD 歡迎糾正 05/08 03:37
→ HuangJC:我沒說證明不可以；我是說你沒有去證明 05/08 03:39
→ HuangJC:你只用了 x->5 的算式，而且很好算；但不能說 x=5 時相同 05/08 03:39
→ HuangJC:很好算是你的事，但證明必需補上，才可以引用 05/08 03:40
→ HuangJC:或者，你先用無窮等比級數把值算出，然後補一句'無窮等比 05/08 03:41
推 kinomon:哦 05/08 03:41
→ HuangJC:級數已被證明XXXXX'；當然這裡有點好笑，有點像'參數課本 05/08 03:42
推 kinomon:..學藝不精，見笑惹 05/08 03:42
→ HuangJC:第幾頁'；我當然知道你講的對，但我就是在考這個，你還叫 05/08 03:42
→ HuangJC:我去參考.. 那就有點沒搔到癢處了 05/08 03:43
→ HuangJC:依此例中，比如 9/9 = 1, 或 10X-X = 9 這類式子，都是 05/08 03:44
→ HuangJC:我所謂的'好算'，的確式子超易懂；但不叫證明 05/08 03:44
→ HuangJC:現實世界很難不連續，所以我們常忽略有證明的必要 05/08 03:45
→ HuangJC:但比如"超人在一秒前人在紐約，一秒後也在紐約" 05/08 03:46
→ HuangJC:一般人就是"他當下一定在紐約"；對超人來說，不一定 05/08 03:46
→ HuangJC:因為他會瞬間移動啊，他在當下可能飛到日本又飛回紐約了 05/08 03:47
→ HuangJC:好，數學這東西就是你得先證明 f 不是超人，不會飛才行 05/08 03:47
推 kinomon:若以前n項部分和來說，對n本身不就是離散嗎？ 05/08 03:49
→ HuangJC:數學也不接受'我感覺他不是超人'，而是要做最壞打算 05/08 03:49
→ HuangJC:無論從任何角度，任何證據，都看不出他是超人，才可以 05/08 03:50
推 kinomon:本來想先用連續切進去，可是要證明n->無窮f(n)的極限=f(n) 05/08 03:51
→ kinomon:也是問題.. 05/08 03:52
→ kinomon:我再想想好了 05/08 03:52
→ moonshade:簡單極限定理而已... 不知道這有甚麼好討論那麼久的 05/08 05:00
→ moonshade:實在是不知道axiom有甚麼好討論的... 05/08 05:04
我來講解一下為什麼不存在的東西不能假設。 舉例來說，我今天想算 1 + 2 + 4 + 8 + ... 的值。 設 x = 1 + 2 + 4 + 8 + ... 可得 x = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + ... ) = 1 + 2x 也就有 x = -1，而這顯然是荒謬的。 _ _ 如果要用 10x = 9 + x 來算 0.9，必須先證明 0.9 存在。 因為 0.9, 0.99, 0.999, ... 是個遞增又有上界的數列，可知這個數列一定收斂。 一個遞增又有上界的數列一定收斂，可以從最小上界公理得到，有關這個公理可以參考這 篇： http://ppt.cc/Muzq ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 05:24:00
推 Desperato:推正式解法(以上數學化就是正式解)，太多人看不懂了QW Q 05/08 08:38
推 Desperato:這個問題會扯到實數完備性公理，不能理解0.999=1的人 05/08 08:46
→ Desperato:通常也會聽不懂實數的完備性，但這是實數的大前提 05/08 08:48
推 rex6608kevin:你一定要做得這麼精美嗎?lol 05/08 08:55
→ BDN:厲害推 05/08 10:48
推 kinomon:今天想想，極限證明跟是否它本身連續沒什麼關係吧 05/08 17:11
→ kinomon:有點傻到了= = 05/08 17:12
推 johnny771213:假設1為Z，0.99999...為B，可得Z>B 05/08 17:43
推 Desperato:HuangJC的意思是說，無窮級數和是可以拿來證明 05/08 18:08
→ Desperato:但是無窮等比級數本身能用，是因為已經被證明可以用了 05/08 18:10
→ Desperato:才會說使用無窮等比級數是方法。這個方法的可用性證明就 05/08 18:11
→ Desperato:是像上面那樣。其他連續什麼的，好像是他想要表達方法和 05/08 18:14
→ Desperato:證明的差別，和0.999的證明沒什麼關係OW O 05/08 18:14
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ※ 轉錄者: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:46:50 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:48:53 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:49:47 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:52:50 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:55:41
→ yhliu :要 "用乘10來證明" 能用, 需要更多東西當基礎! 05/13 20:21
→ alfadick :現在99課綱高一教無窮循環小數化分數的時候 05/13 20:30
→ alfadick :因為數列的極限、等比數列公式都跑到高三下了, 05/13 20:30
→ alfadick :所以在高一時題目問到：0.73(bar)等於幾分之幾 05/13 20:31
→ alfadick :有些參考書作者都是用什麼*10, *100, 拼拼湊湊而來 05/13 20:31
→ alfadick :我懶得講很清楚, 有看過參考書的就知道 05/13 20:31
→ alfadick :幹那根本在教垃圾 05/13 20:31
→ alfadick :原po所以你現在還在念醫學系? 不如全職幹數學這行吧x 05/13 20:33
→ alfadick :xd 05/13 20:33
→ dqIpb :7122.... 05/13 21:04
→ xavier13540 :歐居然這裡有人懂7122的梗 好感動(? 05/13 22:38
推 TrIstaNa :7122...xd看到亂入 05/14 06:05
推 justinj :還有一個...夾擠定理 0.9(有限)<=0.9(無限)<=1... 05/15 14:00
→ justinj :左邊的極限(1)<=0.9(無限)<=1..中間只剩1... 05/15 14:01
→ sneak : 歐居然這裡有人懂712 https://daxiv.com 01/02 15:46
→ muxiv : 有些參考書作者都是用什 https://noxiv.com 07/07 12:07