Re: [微積] 積分題目

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《simonsimon00 (simon)》之銘言：
: 請問一題關於積分的題目
: S  1/[x(x^2-4)^(1/2)]  dx
: 我的算法是先令 x=2sec y
: 但是算到最後 分母根號裡面的 tan^2 y 化簡後 不知道該不該加負號
: 課本答案是 (1/2)arcsec(x/2)+C
: 希望可以幫我解答 謝謝

dx/dy = 2sec(y)tan(y)


          2sec(y)tan(y)dy
原式 = S ---------------------------
         2sec(y)√[4(sec(y))^2 - 4]

              tan(y) dy
     = S --------------------------
            2 │tan(y)│

x^2 - 4 > 0 => x > 2 or x < -2

            => sec(y) > 1 or sec(y) < -1

原式 = (1/2) y * sgn(tan(y))

     = (1/2) arcsec(x/2) * sgn(x)

通常在你算定積分的時候

你設變數就同時會定下變數的區間

另外要注意一般反三角函數所使用的定義域

你不遵守也無妨

只是給自己麻煩而已

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推 simonsimon00:謝謝回答
→ simonsimon00:還有一個問題:寫答案後 要不要另外寫函數的定義域
→ Honor1984   :一般你用了某個反三角函數 就隱含你用了那反三角函數
→ Honor1984   :的定義域
→ Honor1984   :可以寫出來是最好 但是注意有些情況是你不用寫 因為
→ Honor1984   :例如積分函數已經確保x必須滿足一些條件 那樣子就不
→ Honor1984   :需要寫