推 shingai :謝謝唷! 原來要先回到方程做點變化 05/17 12:49
※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: 題為
: x^3-6x-2=0 之三根 r,s,t, 試求 [(1-(s/r))*(1-(t/s))*(1-(r/t))]^2 值
: 提出 [ 1/(rst)^2 ]=(1/2)^2 得到
: 所求=(1/4)* [(r-s)(s-t)(t-r)]^2
: 到此
: 就不曉得怎麼運用根與係數三條件 以及 因式分解的概念
: 連結到 解決(r-s)(s-t)(t-r) 的值
: 卡住了...
: 有請各位好手提點 ! 謝謝!
r, s, t 滿足 x^3 - 6x - 2 = 0
rst = 2
r + s + t = 0
rs + st + tr = -6
三根均非0
一正二負
設r > 0 > s,t
如果s = t
rs^2 = 2
r + 2s = 0 代入上式得 s = -1, r = -2
2rs + s^2 = 4 + 1 =/= 6
所以s =/= t
設r > 0 > s > t
r^3 - s^3 = 6(r - s)
=> r^2 + s^2 = 6 - rs
=> (r - s)^2 = 6 - 3rs
同理
(s - t)^2 = 6 - 3st
(t - r)^2 = 6 - 3tr
=> [(1-(s/r))*(1-(t/s))*(1-(r/t))]^2 = (1/4)[(r - s)(s - t)(t - r)]^2
= (1/4) * 27 * (2 - rs)(2 - st)(2 - tr)
= (1/4) * 27 * [8 + 24 - 4]
= (1/4) * 27 * 28
= 189
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