※ 引述《freeblizzard (What Have I Done?!)》之銘言：
: 我的問題:
: http://imgur.com/kwd7e5S
: 順便複上:
: http://imgur.com/IFCBp7j
: 現在在學條件期望值
: 不是很懂這題要問什麼??
: @@ 可能因為我基礎不好....
: 希望有強者可以解答一下
先回答 http://imgur.com/IFCBp7j
-λ y
如果λ是固定值，沒有分布，則 p(y) = e λ
--- , y = 0, 1, ...
y!
-λ y
所以這題已知的應該是 f(y|λ) = e λ
---, y=0, 1, ...
y!
-2λ y
=> joint density f(y,λ) = f(y|λ)f(λ) = e λ
--- , y = 0, 1, ..., λ > 0
y!
∞ 1 ∞ -2λ y -(y+1) 1 ∞ -λ y -(y+1)1
=> f(y) = ∫f(y,λ)dλ = ---∫ e λ dλ=2 ---∫ e λ dλ = 2 ---y!
0 y! 0 y! 0 y!
-(y+1)
= 2
y = 0 , 1, .... -(y+1)
(y > 0 => 一直用分部積分, y=0直接算, 答案可整合成 2 )
再來說 http://imgur.com/kwd7e5S
a. 要找E(Y)，因為λ有分布，所以如果你不會上面的，可用
E(Y) = E(E(Y|λ)) = E(λ) (∵ Y|λ ~ Poisson(λ))
∞ -λ
= ∫ λe dλ
0
= 1 (用分部積分)
b. Var(Y) = E(Var(Y|λ)) + Var(E(Y|λ))
= E(λ) + Var(λ)
2 ∞ 2 -λ 2
E(λ ) = ∫ λ e dλ = 2! = 2 => Var(λ) = 2 - 1 = 1
0
∴ Var(Y) = 2
∞
c. P(Y > 9) = ∫ P(Y > 9|λ)f(λ) dλ
0
y y y
∞ -λ λ 9 -λ λ -λ 9 λ
P(Y > 9|λ) = Σ e ---- = 1 - Σ e ---- = 1 - e Σ ---
y=10 y! y=0 y! y=0 y!
y
∞ -λ ∞ -2λ 9 λ
=> P(Y > 9) = ∫ e dλ - ∫ e Σ ---
0 0 y=0 y!
y
9 ∞ -2λ λ
= 1 - Σ ∫ e --- dλ
y=0 0 y!
9 -(y+1)
= 1 - Σ 2
y=0
10
1(1/2)
= 1 - -----------
2(1-1/2)
10
= 1 - (1/2)
= 1023/1024
--
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1400742684.A.AED.html
※ 編輯: yueayase (36.236.229.213), 03/20/2015 21:21:23