→ wohtp :學到好東西了！ 05/23 06:23
推 Lanjaja :感謝回答 正是我想要的 05/23 08:35
推 Frobenius :推 05/23 12:17
先改變積分順序，原積分會等於
∞ (a/u)^2
∫ e^(-u^2) [ ∫ e^(-st) dt ] du
u=0 t=0
其中 a = x/(2√k). 因此，困難點在於以下的積分
∞
∫ exp[ - (u^2) - s*(a/u)^2 ] du
0
接下來先區分一下 s>0 或 s<0 比較保險
假設 s>0，令 c^2 = s(a^2)，再變數代換 y = u/(√c)
- u^2 - s*(a/u)^2 = -[(u+c/u)^2] + 2(c^2) = - { [y+(1/y)]^2 }*c + 2(c^2)
因此，積分的困難點在於以下的積分
∞
∫ exp[ -c [y+(1/y)]^2 ] dy
0
這型的積分有個邪惡的技巧，就是令 z=1/y 代換後會得到另一個式子，
然後兩式相加後，能代換成高斯函數的積分
http://0rz.tw/hvEWC
s<0 的時候應該也是用類似的方法解決，我還沒算就是了 .__.
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請問一個有點困難的積分題怎麼做
: ∞ x/(2√(kt))
: Evaluate ∫ ∫ e^(-u^2) e^(-st) du dt, for x > 0
: 0 0
: 我想知道實際計算積分的過程、怎麼作變換或者有什麼特殊方法...
: 我知道有些人Laplace背得很熟，但是我想知道過程
: 所以請不要回答我直接查Laplace transform的表，因為那樣又落到雞生蛋蛋生雞的問題
: 謝謝
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