題目
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這是 Hungerford's Algebra
Exercise 9 in Section 5 of Chapter IV
我想問的是 (b)
如果我們的 R 有 identity (這裡指的是乘法的 identity)
那麼其實可以令 B=R/J
然後證明 B/IB 同構於 R/(I+J) -----(*)
接著用 (a) 就可以得到結果了
(雖然 (a) 是 groups isomorphism,
但在 R 交換時可以用同樣的證明方式得到 modules isomorphism)
問題在於 Hungerford 的交換環不一定有 identity
所以不能直接拿 (a) 來用
(事實上在證明 (*) 時我也需要用到 identity)
那我就想說用基本的方法去試試看
先找 R/I ×R/J ---> R/(I+J) 的一個 bilinear map
然後得到 f: R/I \otimes R/J ---> R/(I+J) 的一個 homomorphism
最後找一個 map g: R/(I+J) ---> R/I \otimes R/J s.t.
f。g and g。f 都是identity map 就做完了
但問題又來了，我 g 的定義會依賴於 identity (囧)
我試著想找幾個沒有 identity 的例子
來說服自己 Hungerford 可能是筆誤，所以少寫了
但找出來的都是對的 (囧^2)
所以想請問究竟需不需要 identity?
如果不需要，要如何證明? 如果需要，那反例是什麼?
(我找了幾本書或是網路上的資訊都是假設有 identity 的情況了)
謝謝收看 :)
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